Ich finde die Aufgabensstellung auch, nunja, etwas gewöhnungsbedürftig, aber glaube es ist so gemeint wie hier: https://de.wikiversity.org/wiki/Vektorfeld/Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung/Anfangswertproblem/Definition.

Vorweg: dass (-ay,ax) senkrecht auf (x,y) steht, sieht man sofort mit dem Skalarprodukt.

Zurück zur Dgl, die lautet demnach:

\( v'(t) = \begin{pmatrix} v_1'(t) \\ v_2'(t)\end{pmatrix} = F(t, v_1(t),v_2(t)) = \begin{pmatrix} -a\,v_2(t) \\ a\,v_1(t)\end{pmatrix}\), oder kurz:

\( v_1'(t) = -a\, v_2(t),\quad v_2'(t) = a\,v_1(t)\): Daraus erhalten wir:

\( v_1''(t) = -a\, v_2'(t)= -a^2\,v_1(t)\). Die allg. Lösung dafür lautet:

\(v_1(t) = c_1\sin (a\,t) +c_2\cos (a\,t)\).

Wir haben die Anfangsbedingungen \(v_1(s)= b\) und \(v_2(s)=c\). Dies setzt man in obiges \(v_1\) ein (beachte: \(v_2(t) = -\frac1a\, v_1'(t))\) und erhält dann \(c_1\) und \(c_2\). \(v_2\) berechnet man auch, wie eben gesagt, aus \(v_1'\).

Wenn noch Fragen sind, gerne nochmal hier melden.