Ja sicherlich - die notwendige Bedingung - Gradient ist gleich \(0\) hilft da - einfach mal die partiellen Ableitungen gemeinsam anschauen und überlegen, wie viele Nullstellen es da maximal geben kann.

\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)= y+\frac{27}{x^2}\)

\(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)= x+\frac{27}{y^2}\)

Also hast du die beiden Gleichungen

\(y+\frac{27}{x^2}=0\qquad \Leftrightarrow\qquad y= -\frac{27}{x^2}\)

\(x+\frac{27}{y^2}=0\qquad \Leftrightarrow\qquad x= -\frac{27}{y^2}\)

Und damit

\(x+\frac{27}{\left( -\frac{27}{x^2}\right)^2}=0\qquad \Leftrightarrow\qquad x^4+x=0 \qquad \Leftrightarrow\qquad x\cdot(x^3+1)=0\)

\(y+\frac{27}{\left( -\frac{27}{y^2}\right)^2}=0\qquad \Leftrightarrow\qquad y^4+y=0 \qquad \Leftrightarrow\qquad y\cdot(y^3+1)=0\)

Es kann höchstens \(8\) Nullstellen geben. Genau sind es zwei \((-1,-27)\) und \((-27,-1)\). Ob das Extremstellen sind ist damit übrigens auch noch nicht klar.