Inhomogene Differenatialgleichung 2. Ordnung, Allgemeine und partikuläre Lösung

Aufrufe: 569     Aktiv: 04.07.2020 um 19:29
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Hallöchen, ich steig leider immer noch nicht zu 100% hiner die Aufgaben.

ich habe zum Beispiel gegeben \( a) 2y′′− 8y′ + 8y = 3e^x + 6xe^(2x^), y(0) = 1 ,y′(0) = 1\)

für da k1 und k2 konjugiert komplex sind, habe ich für yh den Ansatz \(yh = e ^ (xbeta^)(C1 cos(ωx) + C2 sin(ωx))\) gewählt.

für beta bin ich bei 2.284 und für omega bei 1.1864. Demenstsprechend habe ich ein yh von \(yh=e^(2.284x^)*(cos(1.1864x)-6.689sin(1.1864x))\)

mit C1=1 und C2=-0.6888

Wähle ich jetzt für mein yp die Störfunktion ae^(kx) => Ae^(kx)?

oder ist das ganze komplizierter?

danke im vorraus!!!

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Das char. Pol. ist \(\lambda^2-4\lambda +4\), da komme ich auf recht angenehme Nullstellen, natürlich ohne p-q-Formel.

c_1 und c_2 werden mithilfe der Anfangswerte erst ganz am Ende bestimmt, wenn man die Lösung kennt. y_h ist ja nicht die Lösung.

Für die part. Lösung rechnet man einmal mit der Störfunktion 3e^x (nur damit!) und erhält yp1. Dann rechnet man mit der Störfunktion 6xe^{2x} (nur damit!) und erhält yp2. Die allg. Lsg der Dgl ist dann y_h+yp1+yp2.

Dann erst (niemals vorher!) bestimmt man c_1 und c_2.

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