Gegeben sei die Potenzreihe \( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) mit Konvergenzradius \(R\).

Der Abelsche Grenzwertsatz besagt nun: Ist \( \sum_{n=0}^\infty a_n R^n \) konvergent, dann gilt \( \sum_{n=0}^\infty a_n R^n = \lim_{x \to R} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \).

Anders ausgedrückt: Ist \( \sum_{n=0}^\infty a_n R^n \) konvergent, dann lässt sich die Funktion \(f:(-R,R) \to \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \) auf \((-R,R]\) stetig fortsetzen durch \(f(R) = \sum_{n=0}^\infty a_n R^n \).

Zunächst ist wichtig, zu verstehen, dass der Abelsche Grenzwertsatz keine Aussage zur Konvergenz auf dem Rand macht. Die Konvergenz ist eine Voraussetzung, um den Satz anwenden zu können. Man muss also schon wissen, ob die Reihe für \(x=R\) konvergiert.

Der Satz liefert eine Aussage zur Stetigkeit bzw. stetigen Fortsetzbarkeit und damit eine Limes-Darstellung der Reihe \( \sum_{n=0}^\infty a_n R^n \). Das sollte einen eigentlich nicht überraschen, denn es ist recht naheliegend, dass \( \lim_{x \to R} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty a_n R^n \) ist, wenn \( \sum_{n=0}^\infty a_n R^n \) existiert.

Warum ist der Satz nun nützlich? Betrachten wir beispielsweise die Reihe \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \). Nach dem Leibnitz-Kriterium ist diese Reihe konvergent. Das ist zwar schön, aber wir wüssten natrülich auch gerne, welchen genauen Wert diese Reihe hat.

Hier kommt nun der Abelsche Grenzwertsatz ins Spiel. Wir betrachten die Taylorreihe des Arkustangens \( \arctan(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} \).

Die Bestimmung des Konvergenzradius der Reihe, beispielsweise mit der Formel von Cauchy-Hadamard, liefert \( R=1 \). Also gilt diese Reihen-Darstellung auf \((-1,1)\).

Wir wissen nun schon, dass die Reihe \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} \) auch für \(x=1\) konvergiert. Der Abelsche Grenzwertsatz liefert somit

\( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = \lim_{x \to 1} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = \lim_{x \to 1} \arctan(x) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \).

Mit dem Abelschen Grenzwertsatz haben wir also nun den genauen Wert von \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \) herausgefunden.