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Du führst die gleichen Rechnungen durch wie oben, nur dass die Höhen der Rechtecke jetzt nicht mehr \( \frac{1}{(ah)^2}, \frac{1}{(ah^2)^2}, \frac{1}{(ah^3)^2}, \dots \) sind, sondern \( \frac{1}{(ah)^3}, \frac{1}{(ah^2)^3}, \frac{1}{(ah^3)^3}, \dots \), weil wir nicht mehr mit der Funktion \( \frac{1}{x^2} \) arbeiten, sondern mit \( \frac{1}{x^3} \).
Analog sind bei \( \frac{1}{x^4} \) die Höhen der Rechtecke \( \frac{1}{(ah)^4}, \frac{1}{(ah^2)^4}, \frac{1}{(ah^3)^4}, \dots \). Und allgemein sind bei \( \frac{1}{x^k} \) die Höhen der Rechtecke \( \frac{1}{(ah)^k}, \frac{1}{(ah^2)^k}, \frac{1}{(ah^3)^k}, \dots \). Ansonsten bleibt die Idee und der grobe Rechenweg immer der gleiche.
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Student, Punkte: 7.02K
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Konnten Sie mir noch sagen, was das in der Klammer bei "Für die unendliche Summe der Rechteckinhalt e gilt für festes h>1" bedeutet? A1*.... was ist das genau?
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ermpa
05.07.2020 um 16:58
wie kommt der auf 1/ah ?
─
ermpa
05.07.2020 um 17:01
lassen sie die Aufgabe, ich versuche die noch selber zu lösen
Wenn sie können, erklären Sie mir bitte was das o.g bedeutet und auch draus folgt & dann die Formel ─ ermpa 05.07.2020 um 17:09
Wenn sie können, erklären Sie mir bitte was das o.g bedeutet und auch draus folgt & dann die Formel ─ ermpa 05.07.2020 um 17:09
kann man das auch anders schreiben?
Ich dachte des ist die Fläche ab "a", also A1+A2+A3.. aber des was in der Klammer steht hat mich voll verwirrt ─ ermpa 05.07.2020 um 17:38
Ich dachte des ist die Fläche ab "a", also A1+A2+A3.. aber des was in der Klammer steht hat mich voll verwirrt ─ ermpa 05.07.2020 um 17:38
Die Fläche des ersten Rechtecks hast du damit richtig berechnet. Die Flächen sind dann allgemein: \(A_1 = \frac{h-1}{a^2h^3} \), \( A_2 = \frac{h-1}{a^2h^5} \), \( A_3 = \frac{h-1}{a^2h^7} \) und so weiter.
Zur Frage mit der Klammer: Zunächst setzt man die ausgerechneten Flächen einfach ein. Es gilt
\(A_1 + A_2 + A_3 + \dots \) \( = \frac{h-1}{ah^2} + \frac{h-1}{ah^3} + \frac{h-1}{ah^4} + \dots \)
und dann klammert man \( \frac{h-1}{ah^2} \) einfach aus (Dass man bei dieser unendlichen Summe etwas ausklammern darf, muss man einfach mal glauben. Den genauen Grund kann man mit Schulmathematik nicht begreifen).
Das, was dann nach dem Ausklammern übrig bleibt, also \( 1 + \frac{1}{h} + \frac{1}{h^2} + \dots \), ist eine sogenannte "geometrische Reihe". Was du dazu wissen musst ist, wenn wir irgendeine Zahl \( z \) zwischen \(-1\) und \(1\) haben, dann ist \( 1 + z + z^2 + z^3 + \dots = \frac{1}{1-z} \). Diese Formel wird hier für \( z = \frac{1}{h} \) verwendet (das darf man, da h ja größer als 1 ist und somit \( \frac{1}{h} \) zwischen \(0\) und \(1\) liegt). Es gilt also \( 1 + \frac{1}{h} + \frac{1}{h^2} + \dots = \frac{1}{1- \frac{1}{h}} \).
Wenn wir nun mit \( \frac{1}{x^3} \) arbeiten, müssen wir natürlich die neuen Flächen einsetzen und etwas anderes ausklammern. Es gilt \(A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + \dots \) \( = \frac{h-1}{a^2h^3} + \frac{h-1}{a^2h^5} + \frac{h-1}{a^2h^7} + \frac{h-1}{a^2h^9} + \dots \) \( = \frac{h-1}{a^2 h^3} ( 1 + \frac{1}{h^2} + \frac{1}{h^4} + \frac{1}{h^6} + \dots ) \) \( = \frac{h-1}{a^2h^3} ( 1 + \frac{1}{h^2} + ( \frac{1}{h^2} )^2 + ( \frac{1}{h^2} )^3 + \dots ) \). In der Klammer kann man dann wider die Formel für die geometrische Reihe anwenden, diesmal für \( z = \frac{1}{h^2} \). ─ 42 05.07.2020 um 17:41
Zur Frage mit der Klammer: Zunächst setzt man die ausgerechneten Flächen einfach ein. Es gilt
\(A_1 + A_2 + A_3 + \dots \) \( = \frac{h-1}{ah^2} + \frac{h-1}{ah^3} + \frac{h-1}{ah^4} + \dots \)
und dann klammert man \( \frac{h-1}{ah^2} \) einfach aus (Dass man bei dieser unendlichen Summe etwas ausklammern darf, muss man einfach mal glauben. Den genauen Grund kann man mit Schulmathematik nicht begreifen).
Das, was dann nach dem Ausklammern übrig bleibt, also \( 1 + \frac{1}{h} + \frac{1}{h^2} + \dots \), ist eine sogenannte "geometrische Reihe". Was du dazu wissen musst ist, wenn wir irgendeine Zahl \( z \) zwischen \(-1\) und \(1\) haben, dann ist \( 1 + z + z^2 + z^3 + \dots = \frac{1}{1-z} \). Diese Formel wird hier für \( z = \frac{1}{h} \) verwendet (das darf man, da h ja größer als 1 ist und somit \( \frac{1}{h} \) zwischen \(0\) und \(1\) liegt). Es gilt also \( 1 + \frac{1}{h} + \frac{1}{h^2} + \dots = \frac{1}{1- \frac{1}{h}} \).
Wenn wir nun mit \( \frac{1}{x^3} \) arbeiten, müssen wir natürlich die neuen Flächen einsetzen und etwas anderes ausklammern. Es gilt \(A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + \dots \) \( = \frac{h-1}{a^2h^3} + \frac{h-1}{a^2h^5} + \frac{h-1}{a^2h^7} + \frac{h-1}{a^2h^9} + \dots \) \( = \frac{h-1}{a^2 h^3} ( 1 + \frac{1}{h^2} + \frac{1}{h^4} + \frac{1}{h^6} + \dots ) \) \( = \frac{h-1}{a^2h^3} ( 1 + \frac{1}{h^2} + ( \frac{1}{h^2} )^2 + ( \frac{1}{h^2} )^3 + \dots ) \). In der Klammer kann man dann wider die Formel für die geometrische Reihe anwenden, diesmal für \( z = \frac{1}{h^2} \). ─ 42 05.07.2020 um 17:41
Sie haben mich gerettet :))))))
was passiert mit der "h" bei "daraus folgt", denn am Ende kommt ja nur 1/a raus? ─ ermpa 05.07.2020 um 18:09
was passiert mit der "h" bei "daraus folgt", denn am Ende kommt ja nur 1/a raus? ─ ermpa 05.07.2020 um 18:09
Da hast du dich wahrscheinlich irgendwo verrechnet. Als Summe der Rechtecksflächen erhält man \( \frac{h-1}{a^2h^3} \frac{1}{1- \frac{1}{h^2}} \) \( = \frac{h-1}{a^2h^3} \frac{h^2}{h^2 - 1} \) \( = \frac{h-1}{a^2h^3} \frac{h^2}{(h-1)(h+1)} \) \( = \frac{1}{h(h+1)a^2} \). Wenn man dann \(h \to 1\) betrachtet, erhält man dann wie gewünscht \( \frac{1}{2a^2} \) als Fläche unter der Funktion.
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42
05.07.2020 um 18:22
wenn ich breite mal höhe rechne bekomme ich (ah-a)*1/(ah)³ raus, wenn ich dann das a kürzen möchte kommt bei mir h-1/a²h³ raus, stimmt das? ─ ermpa 05.07.2020 um 16:47