Eine Funktion \(f\) ist folgenstetig in \(x_0\), wenn für jede Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) mit Grenzwert \(x_0\) die Folge der Funktionswerte \((f(a_n))_{n \in \mathbb{N}} \) den Grenzwert \( f(x_0) \) hat.

In metrischen Räumen ist Folgenstetigkeit äquivalent zur Stetigkeit. (In allgemeinen topologischen Räumen ist das nicht so)

Im Allgemeinen ist es sehr schwierig, Folgenstetigkeit entsprechend der Definition zu zeigen, denn man müsste ja jede mögliche Folge mit Grenzwert \(x_0\) überprüfen und das ist im Allgemeinen nur sehr schwer bzw. gar nicht möglich. In der Praxis zeigt man häufig, dass eine Funktion nicht folgenstetig ist (in metrischen Räumen zeigt man damit, dass die Funktion nicht stetig ist), denn dazu muss man nur eine einzige Folge \((a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) mit Grenzwert \(x_0\) finden, sodass die Folge der Funktionswerte \((f(a_n))_{n \in \mathbb{N}} \) nicht gegen \( f(x_0) \) konvergiert. Und das ist oft sehr einfach.

Allgemeine Merkregel: Wenn du in metrischen Räumen die Stetigkeit einer Funktion nachweisen willst, dann verwende das \( \varepsilon\)-\( \delta\)-Kriterium, wenn du die Unstetigkeit nachweisen willst, dann verwende das Folgenkriterium.

Das Folgenkriterium ist einfach nur ein Kriterium für die Stetigkeit einer Funktion. Und zwar ist eine Funktion \(f(x)\) genau dann in einem Punkt \(x_0\in\mathbb{R}\) stetig, wenn für jede Folge \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) mit \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0\) gilt: \(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)\). Praktisch gesagt heißt das, dass man bei stetigen Funktionen den Limes immer in die Funktion "reinziehen" kann, d.h. \(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(\lim\limits_{n\to\infty}x_n)\).