Bezeichne den Schnittpunkt von \( \bar{CD} \) und \( \bar{BE}\) mit \(S\).

Zunächst gilt sicherlich

\( \bar{CS} + \bar{DS} = \bar{CD} \)

Nun muss man die fehlenden Winkel eintragen.

Im Dreieck \(DSE\) folgt dann mit dem Sinussatz

\( \bar{DS} = \frac{\bar{DS}}{\sin 90°} = \frac{\bar{DE}}{\sin 30°} = 2 \cdot \bar{DE} \)

Außerdem stellt man fest, dass das Dreieck \(BCF\) gleichschenklig ist. Es gilt

\( \bar{BC} = \bar{CS} = \bar{CD} - \bar{DS} = \bar{CD} - 2 \cdot \bar{DE} \)

Wegen \( \bar{AD} = \bar{BC} \) folgt hieraus

\( \bar{AD} = \bar{CD} - 2 \cdot \bar{DE} \)

Nach dem Strahlensatz gilt

\( \frac{\bar{DE}}{\bar{DE} + \bar{AD}} = \frac{\bar{DS}}{\bar{AB}} \)

Setzt man hier die entsprechenden Werte für \( \bar{AD} \) und \( \bar{DS} \) ein, erhält man

\( \frac{\bar{DE}}{\bar{DE} + \bar{CD}- 2 \cdot \bar{DE} } = \frac{2 \cdot \bar{DE}}{\bar{AB}} \)

Umstellen ergibt

\( \bar{DE} = \bar{CD} - 0,5 \cdot \bar{AB} = 16,5 - 0,5 \cdot 24 = 4,5 \)

Bei deinen Berechnungen für AB und AE machst du einen Fehler: Du gehst davon aus, wie du auch schreibst, dass BE Hypotenuse ist. Das ist nicht der Fall. Im Dreieck ABE ist AB die Hypotenuse (längste Strecke, gegenüber des rechten Winkels). Somit stimmen AE und BE schon mal leider nicht.

Alternativer Lösungsweg zum bereits in der anderen Antwort beschriebenen:

Zeichne die Höhe des gleichschenkligen Trapezes ein. Einmal links, sodass sich ein rechtwinkliges Dreieck mit A und D ergibt, und einmal rechts, sodass sich ein rechtwinkliges Dreieck mit B und C ergibt. Da das Trapez gleischenklig ist, kannst du über die Differenz der bekannten Strecken AB und CD berechnen, wie lange die beiden auf AB liegenden Seiten der eben entstandenen Dreiecke sind.

Über das Dreieck ABE kannst du dir erschließen, wie groß der Winkel bei A ist.

Damit kannst du nun AD berechnen. Über das Dreieck ABE kannst du bekanntlich AE berechnen (musst du nur nochmal richtig machen).

Und letztlich sollte dann DE kein Problem mehr sein. :-)

Übrigens: Da es sich bei ABE und bei den Dreiecken, die enstehen, wenn du die Höhen wie beschrieben ins trapez einzeichnest, jeweils um "halbe gleichseitige Dreiecke" handelt, musst du eigentlich gar nicht mit Sinus, Kosinus oder Tangens arbeiten, sondern kannst dir die nötigen Seitenlängen auch logisch erschließen.