Kettenregel: wie wählt man die innere Funktion? e^(-x) abzuleiten

Aufrufe: 678     Aktiv: 08.07.2020 um 09:30
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Weisst jemand, ob es möglich ist, e^(-x) als eine Verkettung von g(x)=e^x (innere Funktion) und h(x)=g(x)^(-1) (aussere Funktion) abzuleiten? ich gehe davon aus, dass man den Ausdruck auch als (e^x)^(-1) aufschreiben darf, da in dem Fall die Exponenten miteinander multipliziert werden, was wiederum e^(-x) ergibt.

Mit einer gewöhnlichen Lösung komme ich auf -e^(-x). Das ist scheinbar richtig. (die innere Funktion ist g(x)=e^x, wobei x mit dem uhrsprünglichen -x ersetzt wird, die aussere Funktion ist h(x)=-x) 

Wähle ich g(x)=e^x als innere, h(x)=g(x)^(-1) als aussere Funktion, erhalte ich -(e^x)^-2x, da g(x)^(-1) abgelietet -g(x)^(-2) ist. Scheinbar falsch. die Frage wäre, wo der Fehler ist.

 

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\( h(g(x))´= h´(g)*g´(x) = (g^{-1})´* g´(x) = (-1)*g^{-2} * g´(x)= -1*(e^x)^{-2}*e^x =-1*(e^x)^{-2+1}= -1*(e^x)^{-1} =-e^{-x}\)

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super, danke schön!   ─   vera 08.07.2020 um 09:19

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Du hast vermutlich die Kettenregel nicht richtig angewendet oder dich verrechnet. Mit deinem Ansatz kommt man nämlich sehr wohl zur korrekten Lösungen.

Wir schreiben \( e^{-x} = (e^x)^{-1} = h(g(x)) \) für \( g(x)=e^x \) und \( h(x)=x^{-1} \).

Es gilt \( g^{\prime}(x)=e^x \) und \(h^{\prime}(x)= -x^{-2} \).

Mit der Kettenregel folgt dann

\( \frac{d}{dx} h(g(x)) = h^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) = -(e^x)^{-2} \cdot e^x = -e^{-x} \)

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danke vielmals! ich habe es verrechnet.

   ─   vera 08.07.2020 um 09:30

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