Diese Näherung entspricht der Näherung eines Funktionswerts durch den entsprechenden Wert der Tangentialebene. Mathematisch:

\(f(x,y,z) \approx f(x_0,y_0,z_0) + \nabla f(x_0,y_0,z_0) \cdot \begin{pmatrix} h_1\\ h_2\\ h_3\end{pmatrix}\)

Die Zutaten: \((x,y) = (2.25,-3.75,-0.75),\, (x_0,y_0,z_0) =(2,-4,-1)\)

\((h_1,h_2,h_3)=(x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)=(0.25,0.25,0.25)\) und

\(\nabla f(x_0,y_0,z_0) =\begin{pmatrix} 6x_0-y_0\\ -x_0+2z_0\\ 2y_0+8z_0\end{pmatrix}\)

Die ungefähre Änderung des Funktionswert ist also nur das Skalarprodukt (zweiter Summand in der Formel oben, das ist das totale Differential). Nach Einsetzen der Zutaten erhalte ich \(-1\).

Zum Vergleich die wahre Änderung (exakte Differenz der Funktionswerte): 31.5-32 = -0.5

Passt (ist ja nur ne Näherung).