Eine Umformung ist nicht korrekt. Aus \( e^{x*ln(3)} \) machst du \( e^{3x} \). Das würde ja heißen, \( x*ln(3) \) wäre gleich \( 3x\), also ln(3) wäre gleich 3!
Die richtige Umformung hast du schon mit eben: \( e^{x*ln(3)} \)
Auf Grundlage des Wissens, dass gilt: \( a = e^{ln(a)} \) würde ich von Anfang an folgendermaßen vorgehen:
\( f(x)= 3^{x} \)
\(f(x)= e^{ln(3^x)} \)
\(f(x)= e^{x*ln(3)} \)
Und die Ableitung ist dann: \(f'(x)= ln(3)*e^{x*ln(3)} \)
Und wieder vereinfacht: \(f'(x)= ln(3)*3^{x} \)
Ergänzung: Wie schon gesagt wurde, ln(3) ist ja einfach nur eine Zahl ... und ein konstanter Faktor bleibt erhalten. Deshalb:
\(f''(x)= ln(3)*ln(3)*e^{x*ln(3)} \)
\(f''(x)= (ln(3))^2*e^{x*ln(3)} \)
\(f''(x)= (ln(3))^2*3^{x} \)
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