Ich verstehe deine Frage leider nicht ganz, was vermutlich an den Begrifflichkeiten liegt, die du verwendest. "Eine Folge, die in \( l^2 \) liegt", ist zu unterscheiden von "einer Folge in \( l^2 \)". Letzteres wäre eine Folge von Elementen aus \( l^2 \), also eine Folge von Folgen. Und mir ist leider nicht klar, was \( a_n \), \(b_k\) und \( \phi_k \) denn nun sein sollen. Dass du dich für \( \phi_k = a^k \) interessierst, sieht eher nach \( (\phi_k)_{k \in \mathbb{Z}} \in l^2 \) aus. Wenn die \( b_k \) dann reelle Zahlen sein sollen, dann wäre die Summe aber eine reelle Zahl und keine Folge. Damit macht dann die Gleichheit keine Sinn. Dann müsste also mit \( (\phi_k)_{k \in \mathbb{Z}} \) eine Folge in \(l^2\) gemeint sein, also \( \phi_k \in l^2 \). Aber dann frage ich mich, inwiefern \( a^k \in l^2 \) ist. Vielleicht kannst du deine Frage ja nochmal in Quantorenschreibweise formulieren. Das wäre sicherlich hilfreich.