Ganz klassisch ist erstmal die Klammer ausmultiplizieren :\((x + 2y)^3 = x^3+6x^2y +12xy^2 + 8y^3 \).
Über x integriert folgt :\( {1\over 4} x^4 + {6\over 3} x^3y+{12\over 2}x^2y^2 + 8xy^3 |_1^2 = {1\over 4}(16-1) +2y( 8-1) +6y^2(4-1) +8y^3(2-1) ={15\over 4} +14y +18y^2 +8y^3\).
Jetzt über y integrieren : \( {15 \over  4} y +7y^2+ 6y^3 +2y^4 | _{-2}^{-1}= \) 
Das kannst du selber rechnen.

Die erste Stammfunktion ist falsch (weiter habe ich nicht geschaut). Lieber nicht ausmultiplizieren und gleich integrieren:

\(\int\limits_1^2 (x+2y)^3 dx = \frac14 (x+2y)^4 \Bigm|_1^2 =....\)

Übrigens kann man seine Stammfunktion auch stets durch Ableiten prüfen.