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Zu c): Sei \( (x_1,\,r_1)\sim (x_2,\,r_2)\) und \((x_2,\,r_2)\sim (x_3,\,r_3)\). Es gibt also \(s,\, u \in R\setminus \{0\}\) mit \(s\,r_1\,x_2 = s\,r_2\,x_1\) und \(u\,r_2\,x_3 = u\,r_3\,x_2\). Dann gilt:
\((s\,u\,r_2)\,r_1\,x_3 = (s\,r_1)\,u\,r_2\,x_3 = (s\,r_1)\,u\,r_3\,x_2 = (u\,r_3)\,s\,r_1\,x_2\)
\( = (u\,r_3)\,s\,r_2\,x_1 = (s\,u\,r_2) \,r_3\,x_1\)
\(s\,u\,r_2 \ne 0\) denn \(s,\, u,\,r_2\in R\setminus \{0\}\) und R ist nullteilerfrei nach Vor.
Damit ist \( (x_1,\,r_1)\sim (x_3,\,r_3)\)
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mikn
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