Stetigkeit Differenzierbatkeit Gleichmäßigkeit beweisen

Aufrufe: 61     Aktiv: vor 1 Monat

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Hii leute!

wie kann ich das beweisen?das ist irgendwie doch klar dass f gleichmässig ist??

wie kann man mit mathematische Sprache der Beweis vollständig schreiben?

kann jemand mir helfen?

Vielen Dank!!

 

 

gefragt vor 1 Monat
j
jane14,
Student, Punkte: 45

 
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2 Antworten
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Wenn man den Beweis nicht so allgemein führen möchte, kann man auch wie folgt vorgehen:

Sei \(f:[a,b] \to \mathbb{R} \) eine stetig differenzierbare Funktion. Dann ist \( \vert f^\prime \vert \) stetig und nimmt auf dem Kompaktum \([a,b]\) ein Maximum \(M \in \mathbb{R}_0^+\) an.

Wenn \(M=0\) ist, dann wäre \( f^\prime = 0\) und somit \(f\) konstant, also offensichtlich gleichmäßig stetig.

Sei also im Folgenden \(M > 0 \). Für \( \varepsilon > 0 \) wählen wir nun \( \delta = \frac{\varepsilon}{M} \). Dann folgt für alle \(x,y \in [a,b]\) mit \( \vert x-y \vert < \delta \):

Wenn \(x \ge y\) ist:

\( \vert f(x) - f(y) \vert = \vert \int_y^x f^\prime(t) dt \vert \le \int_y^x \vert f^\prime(t) \vert dt \le \int_y^x M \ dt = (x-y)M = \vert x-y \vert M < \delta M = \varepsilon \)

Wenn \(x < y\) ist, dann folgt die Abschätzung analog mit vertauschten Integralgrenzen.

\(f\) ist also gleichmäßig stetig.

geantwortet vor 1 Monat
g
anonym
Student, Punkte: 2.9K
 
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Zunächst sollte man sich vielleicht klar machen, dass die Aussage nicht so trivial ist, wie sie scheint. Nimmt man statt dem kompakten Intervall \( [a,b] \) das halboffene Intervall \( (a,b] \), dann ist die Aussage nämlich falsch. Als Gegenbeispiel kann man die Funktion \( f: (0,1] \to \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\frac{1}{x} \) betrachten. Die ist zwar stetig differenzierbar, aber nicht gleichmäßig stetig.

Nun aber zum Beweis. Wir werden nicht die Aussage selbst, sondern die folgende Verallgemeinerung beweisen:

Sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R} \) stetig, dann ist \(f\) auch gleichmäßig stetig.

Sei \( \varepsilon > 0\) gegeben.

Da \(f\) stetig ist, finden wir für alle \(x \in [a,b] \) ein \( \delta_x > 0 \) mit \( \vert f(y) - f(x) \vert < \frac{\varepsilon}{2} \) für alle \( y \in B_{\delta_x}(x) \). Nun ist \( [a,b] \subset \cup_{x \in [a,b]} B_{\frac{\delta_x}{2}}(x) \) eine offene Überdeckung. Da \( [a,b] \) kompakt ist, existiert eine endliche Teilüberdeckung \( [a,b] \subset \cup_{k=1}^n B_{\frac{\delta_{x_k}}{2}}(x_k) \).

Wir wählen \( \delta = \min\{\frac{\delta_1}{2}, \dots, \frac{\delta_n}{2} \} \).

Dann folgt nun für alle \(x,y \in [a,b]\) mit \( \vert x - y \vert < \delta\):

Wegen \( y \in [a,b] \subset \cup_{k=1}^n B_{\frac{\delta_{x_k}}{2}}(x_k) \) gibt es einen Index \(k \) mit \( y \in B_{\frac{\delta_{x_k}}{2}}(x_k) \). Hieraus folgt nun

\( \vert x - x_k \vert \) \( = \vert x - y + y - x_k \vert \) \( \le \vert x-y \vert + \vert y-x_k \vert \) \( < \delta + \frac{\delta_{x_k}}{2} \) \( \le \frac{\delta_{x_k}}{2} + \frac{\delta_{x_k}}{2} = \delta_{x_k} \)

Es gilt also \( x,y \in B_{\delta_{x_k}} (x_k) \) und somit nach Konstruktion

\( \vert f(x) - f(y) \vert \) \( = \vert f(x) - f(x_k) + f(x_k) - f(y) \vert \) \( \le \vert f(x) - f(x_k) \vert + \vert f(x_k) - f(y) \vert \) \( < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \)

Dies zeigt die gleichmäßige Stetigkeit von \(f\).

geantwortet vor 1 Monat
g
anonym
Student, Punkte: 2.9K
 

Danke dir!

  ─   jane14, vor 1 Monat
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