Exponentialfunktion zu einer e-Funktion umschreiben (obwohl e bereits in der Ausgangsfunktion ist)

Aufrufe: 759     Aktiv: 10.07.2020 um 21:14
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Die Aufgabe lautet: Schreiben Sie die Funktion mit der Basis e (und bilden Sie die 1. und 2. Ableitung.)

Das Hauptproblem scheint hier das zu einer Funktion mit der Basis e umzuschreiben. Ich verstehe nicht ob das nun heißen soll, dass ALLES im Exponenten von e stehen soll oder nicht. Nunja, ich bin so vorgegangen:

\(f(x)=2*1,5^x+e^x=ln(2*1,5^x)+ln(e^x)=ln(2)+ln(1,5^x)+ln(e^x)=ln(2)+x*ln(1,5)+x=\)

Kann ich nun das x zusammenfassen? also 2x MAL, ? weil das 1 x wird nur addiert, das andere multipliziert, also ergibt für mich selbvst 2x* keinen Sinn oder wie sollte ich es nun umschreiben (falls es denn bis dahin richtig ist?)

\(=2x*ln(1,5)+ln(2)\) ?

 

Danke für die Hilfe :-)

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Dein Gleichheitszeichen passt hier nicht. Einmal hast du den Ursprungsterm dastehen und danach steht das gleiche nochmals da, aber die Summanden im Logarithmus? Das ist doch was anderes. Ziel ist es einfach ableite zu können, indem man unangenehme Terme in ein e-Funktion-Gerüst steckt. Ich würde das so angehen:

 

\(f(x) = 2\cdot 1,5^x + e^x = 2 \cdot e^{\ln(1,5^x)} + e^x = 2 \cdot e^{x\ln(1,5)} + e^x\)

Wir haben also verwendet, dass \(a = e^{\ln(a)}\) ist und die Problemstelle entfernt. Nun ist es ja leicht abzuleiten:

\(f'(x) = 2\cdot\ln(1,5)  e^{\ln(1,5^x)} + e^x = 2\cdot\ln(1,5)  1,5^x + e^x\)

 

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Hallo und danke; ja und nein.
1. Weshalb passen denn die Gleichheitszeichen nicht? Es ist ja so geschrieben wie bei dir? 2. Also darf ich keine Rechnung tätigen, sondern soll es aufgrund von Regeln umstellen, wie du bereits gesagt hast \(a=e^{ln(a)}\)? 3. Ich habe ln(...) ja bereits in vorherigen Funktionen angewandt, weshalb nun nicht -- oder habe ich die vorherigen Aufgaben falsch gelöst, ich sehe nähmlich, dass ich auch z.B. \(f(x)=3^x\) erstmal zu \(=ln(3^x)\) umgeschrieben habe statt direkt zu \(e^{ln(3^x)}\)

Danke nochmal   ─   capturecapture2 10.07.2020 um 21:01
1. \(3 \neq \ln(3)\) sondern \(3 = e^{\ln3}\) Das hast du bei dir ignoriert. Du hast die erste Version verwendet. Du musst das so machen wie ich. Das ist im Prinzip sowas wie eine 1 dranmultiplizieren. Du änderst nichts an der Funktion/Gleichung kannst aber besser damit arbeiten.
2. Wenn du Rechnungen tätigst, dann nur, wenn sie äquivalent sind, dle Gleichung/Funktion also nicht ändern.
3. Die vorherigen Aufgaben?   ─   orthando 10.07.2020 um 21:04
Danke nochmal; das letzte Beispiel in meinem Kommentar war eine vorherige Aufgabe. Was ist denn mit \(3^x\), das ist doch \(= e^{ln(3^x)}\), oder? Also das x bleibt im Exponenten, aber später kann ich es ja noch davor multiplizieren oder also \(x*e^{ln(3)}\) oder \((e^{ln(3)})^x\), richtig?   ─   capturecapture2 10.07.2020 um 21:10
Ah ok. Letzteres ist richtig.

\(3^x = e^{\ln(3^x)} = e^{x \ln(3)}\)   ─   orthando 10.07.2020 um 21:14

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