Die Folge der Partialsummen ist streng monoton steigend (jeder Summand ist ja positiv) und nach oben beschränkt durch die geometrische Reihe \( \sum_{k=0}^\infty \frac{3}{2^k} = 6 \), also konvergent.

Man kann die Reihe auch als Summe von zwei geometrischen Reihen auffassen und die Summe direkt berechnen:

\(\displaystyle 1+\frac32+\frac14+\frac38+\frac1{16} + \frac3{32} +\ldots= -1 + 3\cdot \sum_{k=0}^\infty \left(\frac12\right)^k +\sum_{k=0}^\infty \left(\frac14\right)^k= -1 + 3\cdot \frac{1}{1-\frac12} + \frac{1}{1-\frac14} =6\frac13\)

Die \(-1\) ist der Tatsache geschuldet, dass beide geometrischen Reihen, für \(k=0\) eine \(1\) summieren.