Ich gehe davon aus, \(P(X=k) = C\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\) gemeint ist (?).

Ich würde es so anpassen, dass die Summe 1 wird:

\(1 \stackrel{!}{=}\sum\limits_{k=1}^\infty P(X=k) =\sum_\limits{k=1}^\infty C\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = -C\, e^{-\lambda} + \sum\limits_{k=0}^\infty C\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} =  -C\, e^{-\lambda} +C\)

D.h. es muss gelten: \( C = \frac1{1-e^{-\lambda}}\).

Das ist auch nicht ganz das, was rauskommen soll. Vielleicht dort auch Tippfehler in der Aufgabenstellung?