Folgen und Reihen

Aufrufe: 827     Aktiv: 15.07.2020 um 17:47
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Hallo, ich habe eine Verständnisfrage.

an = 1/n^2

Konvergiert an bei den Folgen gegen 0 und bei Reihen gegen phi^2/6 ??

 

Oder verwechsele ich was?

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gefragt

Student, Punkte: 105

 
Ja a(n) KONVERGIERT gegen 0 bei Folgen, aber die Reihe mit a(n) hat DEN WERT (pi^2)/6   ─   kallemann 13.07.2020 um 15:06
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1 Antwort
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Es ist eine notwendige Vorraussetzung, dass die Folge der Summanden einer Reihe gegen 0 konvergiert. Tatsächlich konvergiert die Reihe über der Folge \((a_n)_{n\in\mathbb{N_{\geq1}}}\) mit \(a_n=\frac1{n^2}\) gegen \(\frac{\pi^2}6\). Die Folge \((a_n)_{n\in\mathbb{N_{\geq1}}}\) konvergiert demnach gegen \(0\).

Die genannt Voraussetzung ist allerdings nicht hinreichend. Die Reihe über der Folge \((a_n)_{n\in\mathbb{N_{\geq1}}}\) mit \(a_n=\frac1{n}\) (die sogenannte harmonische Reihe) divergiert, obwohl die Folge  \((a_n)_{n\in\mathbb{N_{\geq1}}}\)gegen \(0\) konvergiert.

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Lehrer/Professor, Punkte: 1.29K

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Also die Reihe 1/k! konvergiert ja gegen 1 bzw, es kommt 1/1 raus. Heißt es jetzt, dass die Reihe nicht konvergiert und somit divergiert, weil die Reihe gegen 0 konvergieren muss?? Wie sieht es aus bei den Folgen??   ─   kundi 13.07.2020 um 16:02
Ich fürchte, hier liegt ein Missverständnis vor. Eine Reihe kommt immer mit einer Folge, nämlich der Folge der Summanden. Es ist zum Beispiel \(\sum_{k=0}^\infty k \) eine Reihe über der Folge \((a_{k})_{k\in\mathbb{N}} = (0,1,2,3,4,5,6,7,\ldots)\).

Die Reihe (über der Folge \((a_{k})_{k\in\mathbb{N}}\) ist:
\(\sum_{k=0}^\infty k = 0+1+2+3+4+5+6+7+\ldots\)
Die (zugehörige) Folge ist:
\((a_{k})_{k\in\mathbb{N}}=(0,1,2,3,4,5,6,7,\ldots)\)   ─   mathe.study 13.07.2020 um 16:09
Oke, ich habe es wirklich falsch verstanden gehabt. Ich danke dir, habs zum Glück nun richtig verstanden durch das Video.   ─   kundi 13.07.2020 um 16:28
Muss nochmal etwas nachfragen: an = 1(2k+1)

Folge: Divergiert
Reihe_ Konvergiert gegen 0.

Stimmt das so??   ─   kundi 13.07.2020 um 16:49
?? ist mir nicht klar, meinst du die Folge \(a_n=\frac{1}{2n+1}\) ? Diese Folge konvergiert - die Reihe über dieser Folge divergiert.   ─   mathe.study 13.07.2020 um 16:51
1/(2k+1) meine ich habe oben das / vergessen.
   ─   kundi 13.07.2020 um 17:03
Auf YT wird gesagt, dass die Reihe gegen Null konvergiert. Bin jetzt verwirrt.   ─   kundi 13.07.2020 um 17:12
Echt, wo?   ─   mathe.study 13.07.2020 um 17:14
Meinst du die Folge?   ─   mathe.study 13.07.2020 um 17:15
https://www.youtube.com/watch?v=s54a3APAJ6o&list=PLKACPrU0Thj-iq-RbBteUfi5v1uDunRje&index=31

Bei Minute 02:35.

Verstehe ich das wieder falsch??   ─   kundi 13.07.2020 um 18:18
Ich bin echt am verzweifeln   ─   kundi 13.07.2020 um 18:20
Alles halb so wild. In dem Video wird die Reihe \(\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}\) betrachtet - die konvergiert. GANZ WICHTIG: Im Zähler steht ein \((-1)^k\) - damit wechseln sich ständig positive und negative Folgenglieder ab. Diese Reihe konvergiert tatsächlich. Die Reihe \(\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2k+1}\) nicht.   ─   mathe.study 13.07.2020 um 21:20
Dankeschön
  ─   kundi 13.07.2020 um 22:05

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