Im letzten Schritt für die Lösung ist es besser, \(c\in R\) zuzulassen.

\( |y| =c\cdot \frac1{1+x^2}\) mit \(c>0 \iff y(x) =c\cdot \frac1{1+x^2}\) mit \(c\in R\) (erspart die Fallunterscheidung).

Zu c): Ja, erstmal die beiden Lösungen ausrechnen:

\(\tilde y (x)=0\) konstant (da \(c=0\)).

\(y(x)\) hat \(c=\sqrt{1.5}\).

Dann gilt: \(| y(x)-\tilde y(x)| = \sqrt{1.5} \frac1{\sqrt{1+x^2}} = e^{\ln\sqrt{1.5}-\ln\sqrt{1+x^2}}= e^{\ln\sqrt{1+a^2}-\ln\sqrt{1+x^2}}\) mit \(a=\sqrt{0.5}\).

Mit \(g(x):=\ln\sqrt{1+x^2}\) gilt nach Mittelwertsatz \(g(x)-g(a) = g'(z)\,(x-a)\) für ein \(z\in R\), also \(|g(x)-g(x)| = |g'(z)|\cdot |x-a|\). Nun ist

\(|g'(z)|=|\frac{z}{1+z^2}| \le M\), wobei \(M\) das in b) berechnete Maximum ist. Nun ist alles reif für die Ernte:

\(| y(x)-\tilde y(x)| = e^{\ln\sqrt{1+a^2}-\ln\sqrt{1+x^2}} = e^{g(a)-g(x)} \le e^{|g(a)-g(x)|} \le e^{M\cdot |x-a|}\), fertig mit \(L:=M\).

Schau Dir die Schritte in Ruhe an und frag bei Bedarf ruhig nochmal nach.