Für die grundlegende Idee empfehle ich den obigen link von holly durchzuarbeiten. Wenn das verstanden ist (vorher bitte nicht), dann muss das ganze auf 2D erweitert werden. Hier wird über \([0,1]^2\) integriert, ein Quadrat (kein Quader). Die Technik und Schreibweise für die 2D-Zerlegung findest Du hier: https://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=226739&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

dort letzter Beitrag auf der Seite.

Nun ist unsere Funktion hier etwas anders.

Die Untersummen sind, wie in obigem Beitrag, alle 0 (da die dortige Funktion und auch unsere beide =0 für  (x,y) mit x und irrational sind).

Die Obersummen sind auch alle =1, aber aus einem anderen Grund als im Beitrag. Wir müssen dazu für alle \(k,i\) ein \((x,y)\in [x_{k-1}, x_k]\times [y_{i-1},y_i]\) finden mit \(f(x,y)=1\). Das geht so:

Da \(x_k=\frac{k}N\) (Achtung, Tippfehler im matheplanet-Beitrag), ist

\([x_{k-1}, x_k] = [\frac{2k-2}{2N}, \frac{2k}{2N}]\). In diesem Intervall liegt \(x:=\frac{2k-1}{2N} \in Q\). Analog ist \(y:= \frac{2i-1}{2N}\in Q\) und \(y \in [y_{i-1},y_i]\). Dann gilt \(f(x,y)=1\).

Der Rest der Argumentation ist wie im matheplanet-Beitrag und wie im 1D-Fall (wikipedia).