Wir vermuten mal, der Grenzwert ist 1. Dann:

\(| 1- a_n | = | \frac{n-16}{n^2+2n+1}| = \frac{|1-\frac{16}n|}{n+2+\frac1n} \le \frac1n\) für alle \(n\ge 16\), denn

\(1-\frac{16}n \le 1\) und \(1-\frac{16}n \ge 0\) für alle \(n\ge 16\)

und \(2+\frac1n\ge 0\) und die alte Merkregel: Ein Bruch wird größer, wenn der Zähler größer wird oder der Nenner kleiner.

Sei nun \(\epsilon >0\), sei \(n_0\) so gewählt, dass \(n_0\ge 16\) und \(n_0\ge \frac1{\epsilon}\). Dann gilt für alle \(n\ge n_0\):

\(| 1- a_n | \le \frac1n\le \frac1{n_0} \le \epsilon\), fertig.

Die weggelassenen Schritte sind reine Bruchrechnung und haben nichts mit Grenzwerten zu tun. Und wenn Du Dich fragst, wie man darauf kommt: reine Übungssache.

Nun probier mal dasselbe Vorgehen selbst z.B. an der Folge \(a_n=\frac{3n+7}{n+12}\), die gegen 3 konvergiert. Üben, Üben, Üben.