F: V->W kern/= 0 nicht injektiv?

Aufrufe: 721     Aktiv: 16.07.2020 um 19:48
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Wenn man eine lin. Abbildung hat von V->W wobei dim V ungleich dim W ist. Kann man sagen, dass wenn der Kern ungleich 0 ist, dass es nicht injektiv ist? Weil wenn dim V=3 und dim W=2 ist und der Rang =2, dann wäre nach der Dimensionsformel der Kern=1 und somit nicht injektiv. Das wäre aber möglich.
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Klingt richtig. Man kann zeigen: Der Kern ist genau dann trivial (also Dimension 0 - oder - enthält nur den Nullvektor), wenn die lin Abbildung injektiv ist.

Mit dieser Aussage solltest du weiterkommen.

Eine lineare Abbildung \(f:V\rightarrow W\), wobei \(\dim(V)=3\) und \(\dim(W)=2\) ist sowie \(V\) und \(W\) Vektorräume über dem gleichen Körper sind, kann nicht injektiv sein. Das sagt übrigens der Dimensionssatz:

Für eine lineare Abbildung \(f:V\rightarrow W\), wobei \(\dim(V)=n\) und \(\dim(W)=m\) ist, gilt stets

\(\dim(Kern(f)) + \dim(Bild(f))=n\)

und natürlich gilt \(\dim(Bild(f))\leq m\).

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Das verwirrt mich nämlich. Denn wir haben gelernt, dass wenn alle Elemente auf der rechten Seite getroffen werden, ist es surjektiv (rechtstotal). Es ist injektiv (linkseindeutig), wenn höchstens ein Pfeil von links startet. Somit müsste meine Abbildung bijektiv sein, was sie nach Dimensionsformel nicht ist. 🤯   ─   Sarah 16.07.2020 um 19:12
Ich hab's jetzt verstanden. Ich hatte nicht vor Augen, dass eine Abbildung eine Funktion ist.   ─   Sarah 16.07.2020 um 19:48

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Eine lineare Abbildung \(f:V \to W\) mit \( \ker(f) \neq \{0\} \) ist immer nicht injektiv, egal, welche Dimension die Vektorräume haben, denn:

Wegen \( \ker(f) \neq \{0\} \) finden wir ein \( x \in \ker(f) \) mit \(x \neq 0\) und \( f(x)=0=f(0) \), also ist \(f\) nicht injektiv.

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