Diagonalisierbarkeit Transformationsmatrix aus aus Drehgruppe

Aufrufe: 662     Aktiv: 21.07.2020 um 11:41
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Guten Morgen, ich habe eine Frage zur Diagonalisierbarkeit von Matritzen. In der Vorlesung hatten wir besprochen, wenn f (End(V)) symmetrisch ist, dann besitzt V eine reelle Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A (d.h. es existiert ein T aus O(n) mit T^t * A *T =D). Auf dem Blatt zur Klausurvorbereitung steht, wir sollen uns mit der Frage auseinandersetzen, ob man, wenn man T aus der orthogonalen Gruppe wählen kann auch T aus SO(n) wählen kann?

Meine Gedanken hierzu: Da SO(n) schlichtweg eine echte Teilmenge ist gilt dies nur bedingt. Gibt es ein Kriterium/ Indiz dafür, andem ich erkennen kann ob T aus SO(n) gewählt werden kann?

Vielen Dank und liebe Grüße!

Janek

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Hallo, 

die Antwort ist ja. Das ganze kannst du aus den Rechenregeln für Determinaten herleiten. Beim tauschen von zwei Zeilen bzw. Spalten, ändert sich das Vorzeichen der Determinante. 

Durch anpassen der Reihenfolge der Eigenvektoren kannst du also die Determinante \( +1 \) erzeugen und erhälst somit eine Drehmatix. 

Grüße Christian

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Hallo, das heißt IMMER wenn ich T aus O(n) wählen kann, kann ich es auch aus SO(n) wählen? Da für O(n) die Determinante ja nur +1 oder -1 sein kann und ich bei -1 einfach 2 Spalten tauschen muss?

Vielen Dank und liebe Grüße   ─   bothjanek 21.07.2020 um 10:53
Jap das ist richtig :)   ─   christian_strack 21.07.2020 um 10:55
Okay super, langsam macht alles Sinn :D Vielen Dank!!   ─   bothjanek 21.07.2020 um 11:12
Sehr gerne :)
Man kann sich das auch bildlich sehr gut vorstellen. Wenn du in den Spiegel guckst, dann sind zwei Seiten "vertauscht" wenn wir links und rechts vertauschen würden, wäre unser links, das Links des Spiegelbilds und ebenso unser rechts. Dadurch hätten wir dann keine spiegelung mehr sondern im entfernten Sinne nur noch eine Drehung.   ─   christian_strack 21.07.2020 um 11:16
Ja stimmt, jede Spiegelung ist ja eine Drehung.. ;)   ─   bothjanek 21.07.2020 um 11:25
Ja genau. Hier muss man nur mit den Begrifflichkeiten aufpassen, weil in der Mathematik eine Drehung einer gewissen Orientierung folgt. Bei einer Spiegelung drehen wir salopp gesagt auch diese Orientierung. Aber um sich das vorzustellen ist das richtig :)   ─   christian_strack 21.07.2020 um 11:41

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