Mehrdimensionale Kettenregel für partielle Ableitungen verstehen

Erste Frage Aufrufe: 886     Aktiv: 28.07.2020 um 14:37
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Hallo, ich versuche die ganze Zeit die mehrdimensionale Kettenregel zu verstehen, aber irgendwie kriege ich es nicht ganz hin... in einem Satz hatten wir gezeigt, dass

\( (D(g \circ f))(x) = (Dg)(f(x)) \cdot (Df)(x) \)

und das ja genau die Kettenregel, aber halt allgemein für alle Ableitungen mit dem Differential/der Jacobi-Matrix.

Damit kann ich mir bei jeder Funktion einzeln wieder herleiten wie irgendeine Ableitung aussieht, aber ich würde gerne den Rechenweg wissen. Bei der eindimensionalen Kettenregel weiß ich ja auch "äußere Ableitung der inneren Funktion mal die Ableitung der inneren Funktion" - das leite ich mir ja auch nicht immer für jede Aufgabe neu her. Bei der mehrdimensionalen Kettenregel scheint es irgendwie ähnlich zu sein, nur dass ich irgendwie für jede Komponente differenzieren und dann alles addieren muss oder so? Ich komme irgendwie noch nicht ganz zurecht... vielleicht könnte mir jemand die Kettenregel an einem Beispiel erklären, was ich genau nach was ableite und was ich addiere.

(Ich will es für konkrete partielle Ableitungen verstehen, will also am Ende eine Funktion raushaben und keinen Vektor/Matrix - heißt, ich weiß vorher schon, ich will nach \( x_2 \) ableiten und suche die vierte Komponente des sich ergebenden Vektors oder so.)

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Welcher Fall interessiert denn, d.h. was sind Def. und Wertebereiche von g und f. Davon hängt nämlich ab, ob das Ergebnis eine Zahl, ein Vektor, oder eine Matrix ist. In der Kettenregel steht im allgemeinsten Fall ein Matrixprodukt, beim Ausrechnen desselben wird aufaddiert, aber auch multipliziert. (Die Elemente eines Matrixprodukts sind Skalarprodukte). Oft ist es aber nur Matrix mal Vektor.

Mit \(h:=g\circ f\). Wenn man \(\frac{\partial h_i}{\partial x_j}\) sucht, dann man muss man die i-Zeile von (Dg)(f(x)) skalar mit der j-Spalte von Df(x) multiplizieren.

Sag uns ein konkretes f und ein konkretes g (das zu überlegen ist schon lehrreich) und welche Ableitung Du suchst dann schau ich, ob ich das daran erklären kann (je nach Aufwand). Aber DU sagst f und g.

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Danke! Worum es mir eigentlich geht, ist diese Aufgabe: http://mathb.in/43871 (ich mag den Formeleditor hier irgendwie nicht, deswegen habe ich es dort getext). Die würde ich aber gerne alleine schaffen und deswegen versuche ich so die Kettenregel zu verstehen. Sagen wir mal \( h: \mathbb R^3 \to \mathbb R^2, (x,y,z) \mapsto (\sin x + y + z, y x^2 + 4xz) \) und ich suche \( \frac{\partial h}{\partial x} \) (also wirklich nur eine einzelne partielle Ableitung). Das ist glaube ich ein sinnvolles Beispiel.   ─   willi 26.07.2020 um 16:54
Ach klar. Sorry. Dann \( f: \mathbb R^2 \to \mathbb R^3, (x,y) \mapsto (2 \sin(x) + y, 3x^2-yx, 5xy) \) und \( g: \mathbb R^3 \to \mathbb R^4, (x,y,z) \mapsto (2xyz + x^2 z, xz + 3x^4 y, 5x^2-10y, 8zx) \) und \( h = g \circ f \).   ─   willi 26.07.2020 um 17:16
Ach stimmt ja. Habs editiert. Sorry, das passiert, wenn man versucht, sich eine möglichst "bunte" Funktion aus den Fingern zu saugen :P ist egal welche Ableitung, es geht mir ja nur um das Prinzip. \( \frac{\partial h_1}{\partial x} \) zum Beispiel.   ─   willi 26.07.2020 um 17:40
Das ist echt nett, dankeschön!   ─   willi 26.07.2020 um 17:51
Das habe ich jetzt verstanden. Dankeschön! Und ein Punkt ist mir jetzt auch klar geworden: es geht am besten einfach mit Matrizmultiplikation. Jetzt sitze ich aber an der Aufgabe, die ich oben gepostet habe, habe \( \varphi(x) = h(x,g(x)) \) und weiß nicht ganz, was da jetzt verkettet ist - irgendwie ja h und g, aber \( h \circ g \) ist es ja auch nicht, das passt ja schon nicht mal mit den Dimensionen... help? :-(   ─   willi 27.07.2020 um 10:10
Ja, vielen vielen Dank!   ─   willi 28.07.2020 um 14:37

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