Mittelwertsatz Aufgabe

Aufrufe: 50     Aktiv: vor 2 Wochen

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Hallo, 

was wären eure Ansätze hier? 

Wäre folgender Ansatz richtig? 

Ich forme die Ungleichung um: 

( |sin(x)-sin(y)| / |x-y| ) ≤1

Wenn wir x= b und y=a setzen, gibt es nach dem MWS ein E Element (a, b) mit

f'(E) = ( |sin(b)-sin(a)| / |b-a| ) ≤1

Erste Ableitung von |sin(x)| => |cos(x)|. Damit muss es ein E geben mit |cos(E)| ≤1

Das gilt für alle E Element von (a, b). 

Damit wäre der Beweis abgeschlossen. 

Vielen Dank :)  

 

gefragt vor 2 Wochen
a
alisa,
Punkte: 10

 
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2 Antworten
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Hallo,

die Ableitung von

$$ f(t) = |\sin(t) |$$

ist 

$$ f'(t) = \frac {\sin(t) \cos(t)} {|\sin(t)|} $$

aber deine Idee ist trotzdem richtig. Nur forme so um

$$ | \sin(x) - \sin(y) | \leq | x - y | \Rightarrow |f'(\zeta) | = \left| \frac { \sin(x) - \sin(y) } {x-y} \right| \leq 1 $$

Dann kannst du die Funktion

$$ f(t) = \sin(t) $$

betrachten.

Grüße Christian

geantwortet vor 2 Wochen
christian_strack verified
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Danke vielmals!!

  ─   alisa, vor 2 Wochen
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Ansatz und Idee gut und richtig. Aufschreiben und Vorgehen könnte besser sein. Die Struktur ist durcheinander. Zuerst sollte stehen, was f(x) ist (steht nirgendwo!), dann kommt die Zeile mit f'(E) aber ohne Betragsstriche! davor aber "laut MWS gibt es ein E mit". Dann kommt ausrechnen der Ableitung, aber ohne Betragsstriche! Dann die Abschätzung \(|\cos E| \le 1\) (mit Betragsstrichen). Dann  kommt der Differenzenquot kleiner gleich 1, und dann erst (vorher nicht), das rüberbringen auf die andere Seite.

Schreib das mal entsprechend um und schaue, ob es Dir danach nicht auch klarer vorkommt.

geantwortet vor 2 Wochen
m
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 4.11K
 

Danke für die formale Berichtigung :)

  ─   alisa, vor 2 Wochen
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