Christian hat ja erklärt, wie man auf die in b) gewünschte Darstellung kommt. Ja, x+2 ist der ggT. Man erhält dann:

\(-x\cdot (x^5−x^3+5\,x^2−2\,x) + (x^3+x^2−x+2)(1+x\,(x^2-x+1)) = x+2\)

also \(a(x)=-x\) und \(b(x) = x^3-x^2+x+1\)

Zu c) Die geringe Punktzahl deutet darauf hin, dass hier nicht viel zu tun ist.

Wir wissen \(x+2\) ist Teiler von \(f\) und von \(g\), also gilt \(f(-2)=g(-2)=0\) und damit ist die linke Seite der Gleichung für \(x=-2\) null, egal was \(c\) und \(d\) ist. Die rechte ist es aber nicht. Daher kann es so solche Polynome \(c\) und \(d\) nicht geben.

Hallo,

für die b) brauchst du das Lemma von Bezout nicht.

Wir wenden hier auf die beiden Polynome den erweiterten euklidischen Algorithmus. Gucken wir uns den erstmal an natürlichen Zahlen an. 

Was ist der ggT von 21 und 15

$$ \begin{array}{ccc} 21 & = & 1 \cdot 15 + 6 \\ 15 & = & 2 \cdot 6 + 3 \\ 6 & = & 2 \cdot \underline{3} + 0 \end{array} $$

Wir teilen also immer die größte Zahl durch die kleinere Zahl. Dann nehmen wir die kleinere Zahl und teilen diese durch den Rest. Das machen wir solange, bis kein Rest mehr übrig ist. Die letzte Zahl mit der wir geteilt haben (hier die 3) ist dann der gesuchte ggT. 

Nun machen wir das ganze mit Polynomen

$$ (x^5 - x^3 +5x^2 -2x) = ? \cdot ( x^3 + x^2 - x +2) + ? $$

Die \(?\) bestimmst du mittels Polynomdivision. Dann nimmst du das Polynom \( (x^3 + x^2 -x + 2) \) und teilst es durch den Rest. Das machst du solange, bis das Restpolynom das Nullpolynom ist. Das letzte Polynom mit dem du geteilt hast, ist dann der ggT. 

Nun wollen wir die Gleichung aufstellen. Wir gucken uns das ganze wieder an dem Beispiel der natürlichen Zahlen an. Wir nehmen die vorletze Zeile und stellen diese nach dem ggT um

$$ \Rightarrow 3 = 15- 2 \cdot 6 $$

Jetzt nehmen wir die erste Zeile und setzen diese in unsere Gleichung ein

$$ \Rightarrow 3 = 15 -2 \cdot 6 \overset{6 = 21 - 1 \cdot 15}{=}  15 - 2 \cdot (21 - 15) = 3 \cdot 15 - 2 \cdot 21 $$

Das machst du dann auch mit den Polynomen. 

Versuch dich hier mal. Wenn du nicht weiter kommst, melde dich nochmal. Ich gucke auch gerne nochmal über deine Lösung drüber.

zur c) Ich meine das Lemma von Bezout liefert auch die Umkehrung. Also wenn solche Polynome \( c,d \in \mathbb{R}[X] \) existieren, dann muss \( x^2 - x -2 \) auch der ggT sein. Allerdings bin ich mir da sehr unsicher. Vielleicht steht irgendwas in der Richtung auch in deinem Skript? Wenn nicht sag bescheid. Ich denke da auch nochmal etwas drüber nach :)

Grüße Christian