Hi,
also alles mal der Reihe nach:
Die 1. Ableitung beschreibt die Steigung so wie du es sagst.
Zwischen Sekante und Tangente gibt es einen wichtigen Unterschied.
Tangente:
Wenn man von der Tangente im Punkt \((x_0,f(x_0))\) der Funktion \(f(x) \) spricht, dann ist damit eine Gerade \(g(x)\) gemeint, die in dem oben genannten Punkt den gleichen Wert und Steigung wie \(f(x)\) hat. Es gilt also \( f(x_0)=g(x_0) \) sowie \( f'(x_0)=g'(x_0) \). Die Tangente schneidet bzw. hier spricht man von berührt den Graphen \( f\) im Punkt \( (x_0,f(x_0)\)).
Die Funktionsgleichung für die Tangente lässt sich leicht angeben mit:
\( g(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \)
Die Sekante, nennen wir sie einfach \( s(x) \), hingegen schneidet den Graphen \( f \) in zwei Punkten. Diese gibt nicht die Steigung von \( f(x)\) an, sondern die durchschnittliche Steigung zwischen den zwei Punkten, nennen wir sie \( (x_1,f(x_1))\) und \( (x_2,f(x_2)) \). Die Steigung der Sekante ist somit durch den Differenzenquotient gegeben.
\( s'(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \)
Ob eine Funktion differenzierbar ist kann man einfach durch die Definition der Ableitung überprüfen. (Das \( \pm \) beschreibt rechts- bzw. linkseitiger Grenzwert.)
\( f'(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^{\pm}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x\pm h)-f(x)}{h}\)
Wenn rechts- als auch linksseitiger Grenzwert gleich sind, dann ist diese Funktion (im Punkt \( x_0 \)) differenzierbar. So ist z.B. die Betragsfunktion \( h(x)=|x| \) im Nullpunkt nicht differenzierbar, da du unterschiedliche links- und rechtsseitige Grenzwerte erhälst.
Und zuletzt noch:
Wählst du bei der Sekante den Punkt \( x_2\) sehr nahe bei \( x_1 \), d.h. "\( x_1\) + ein wenig mehr" was sich als \( x_2 = x_1+h \) schreiben lässt und den Grenzwert \( h\) gegen Null bildest, dann geht vereinfacht gesagt die Sekante in die Tangente über.
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.68K