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Hallo,
ja deine Lösung ist richtig. Die Formel ist aber
$$ \left( f^{-1}(x) \right)' = \frac 1 {f'(f^{-1}(x))} $$
und deshalb hast du mit
$$ f'(x) = (2-5f(x))^2 $$
und
$$ f'(f^{-1}(x)) = (2-5f(f^{-1}(x)))^2 = (2-5x)^2 $$
die Ableitung
$$ \left( f^{-1}(x) \right)' = \frac 1 {(2-5x)^2} $$
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Meinst du warum die Funktion bei mir
$$ \frac 1 {(2-5x)^2} $$
ist anstatt
$$ \frac 1 {(2-5y)^2} $$
Man kann prinzipiell beides schreiben. Es kommt etwas darauf an, wie du die Variable bezeichnest. Ich habe ja oben geschrieben \(f^{-1}(x) \). Mein Variablen Name ist also \( x \). Wenn du die Variable als \(y \) setzt, also \( f^{-1}(y) \), dann ist natürlich die Lösung mit dem \(y\) richtig. Es war bei mir einfach Gewohnheit, dass ich das so geschrieben habe. Man schreibt ja bespielsweise auch
$$ e^{\ln(x)} = \ln(e^x) = x $$
und nicht \( =y \). Im Allgemeinen gilt
$$ f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = \mathrm{id}(x) $$
Dabei bezeichnet \( \mathrm{id}(x) \) die Identitätsabbildung.
$$ \mathrm{id}: x \mapsto x $$
die jeden Wert auf sich selbst abbildet. Du siehst, dass der Funktionswert \( \mathrm{id}(x) \) oder \( y\) (je nach Bezeichnung) gleich \( x\) ist, also können wir auch \(x \) anstatt \(y \) schreiben, das wichtige ist nur, dass du konsistent überall die gleiche Bezeichnung nutzt.
Also zusammengefasst: es geht beides, je nachdem wie man die Variable definiert hat :) ─ christian_strack 07.12.2020 um 19:14
$$ \frac 1 {(2-5x)^2} $$
ist anstatt
$$ \frac 1 {(2-5y)^2} $$
Man kann prinzipiell beides schreiben. Es kommt etwas darauf an, wie du die Variable bezeichnest. Ich habe ja oben geschrieben \(f^{-1}(x) \). Mein Variablen Name ist also \( x \). Wenn du die Variable als \(y \) setzt, also \( f^{-1}(y) \), dann ist natürlich die Lösung mit dem \(y\) richtig. Es war bei mir einfach Gewohnheit, dass ich das so geschrieben habe. Man schreibt ja bespielsweise auch
$$ e^{\ln(x)} = \ln(e^x) = x $$
und nicht \( =y \). Im Allgemeinen gilt
$$ f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = \mathrm{id}(x) $$
Dabei bezeichnet \( \mathrm{id}(x) \) die Identitätsabbildung.
$$ \mathrm{id}: x \mapsto x $$
die jeden Wert auf sich selbst abbildet. Du siehst, dass der Funktionswert \( \mathrm{id}(x) \) oder \( y\) (je nach Bezeichnung) gleich \( x\) ist, also können wir auch \(x \) anstatt \(y \) schreiben, das wichtige ist nur, dass du konsistent überall die gleiche Bezeichnung nutzt.
Also zusammengefasst: es geht beides, je nachdem wie man die Variable definiert hat :) ─ christian_strack 07.12.2020 um 19:14
f^-1(x) gibt mir doch das Urbild also quasi den x-Wert und f(x) ist ja dann wieder y. deswegen verstehe ich nicht wie man hier auf x kommt. ─ dummkopf1234 07.12.2020 um 16:43