Ableitung der Umkehrfunktion

Aufrufe: 109     Aktiv: 1 Monat, 2 Wochen her

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Ich habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe. Ich kenne die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion (1/f'(x)) und nach dieser würde die Ableitung der Umkehrfunktion so lauten: 1/(2-5y)2

irre ich mich hier? Das kann doch nicht so simpel sein

gefragt 1 Monat, 3 Wochen her
dummkopf1234
Punkte: 12

 

Siehe meine Lernplaylist Differenzialrechnung Methoden der Differenziation. Da werden auch Umkehrfunktionen behandelt. Vielleicht ist auch das Thema Umkehrfunktion im Grundkurs Mathematik noch interessant.   ─   professorrs 1 Monat, 3 Wochen her
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1 Antwort
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Hallo,

ja deine Lösung ist richtig. Die Formel ist aber

$$ \left( f^{-1}(x) \right)' = \frac 1 {f'(f^{-1}(x))} $$

und deshalb hast du mit

$$ f'(x) = (2-5f(x))^2 $$

und

$$ f'(f^{-1}(x)) = (2-5f(f^{-1}(x)))^2 = (2-5x)^2 $$

die Ableitung

$$ \left( f^{-1}(x) \right)' = \frac 1 {(2-5x)^2} $$

Grüße Christian

geantwortet 1 Monat, 3 Wochen her
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 25.85K
 

Vielen Dank! Was mich jetzt nur noch ein klein wenig verwirrt ist dieser Zusammenhang: f(f^-1(x))=x
f^-1(x) gibt mir doch das Urbild also quasi den x-Wert und f(x) ist ja dann wieder y. deswegen verstehe ich nicht wie man hier auf x kommt.
  ─   dummkopf1234 1 Monat, 2 Wochen her

Meinst du warum die Funktion bei mir
$$ \frac 1 {(2-5x)^2} $$
ist anstatt
$$ \frac 1 {(2-5y)^2} $$
Man kann prinzipiell beides schreiben. Es kommt etwas darauf an, wie du die Variable bezeichnest. Ich habe ja oben geschrieben \(f^{-1}(x) \). Mein Variablen Name ist also \( x \). Wenn du die Variable als \(y \) setzt, also \( f^{-1}(y) \), dann ist natürlich die Lösung mit dem \(y\) richtig. Es war bei mir einfach Gewohnheit, dass ich das so geschrieben habe. Man schreibt ja bespielsweise auch
$$ e^{\ln(x)} = \ln(e^x) = x $$
und nicht \( =y \). Im Allgemeinen gilt
$$ f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = \mathrm{id}(x) $$
Dabei bezeichnet \( \mathrm{id}(x) \) die Identitätsabbildung.
$$ \mathrm{id}: x \mapsto x $$
die jeden Wert auf sich selbst abbildet. Du siehst, dass der Funktionswert \( \mathrm{id}(x) \) oder \( y\) (je nach Bezeichnung) gleich \( x\) ist, also können wir auch \(x \) anstatt \(y \) schreiben, das wichtige ist nur, dass du konsistent überall die gleiche Bezeichnung nutzt.
Also zusammengefasst: es geht beides, je nachdem wie man die Variable definiert hat :)
  ─   christian_strack 1 Monat, 2 Wochen her
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