Hallo,

das Bild einer Funktion ist die Menge aller Werte die von der Funktion angenommen werden. Das Urbild hingegen ist die Menge die durch die Funktion abgebildet wird.

Das Bild ist eine Teilmenge der Zielmenge und das Urbild eine Teilmenge der Definitionsmenge.

Eine Basis ist das kleinste Erzeugendensystem einer Menge. Dies ist gegeben wenn alle Elemente des Erzeugendensystems linear unabhängig sind.

Die Basis des Bildraums ist also die Menge, mit deren Elementen du alle Elemente des Bildraums durch Linearkombination erzeugen kannst.

Die Basis des Urbildraums ist ebenso zu verstehen. Mit ihr kannst du alle Elemente des Urbildraums erzeugen.

Die Spalten einer Matrix sind die Bilder der Einheitsvektoren der Definitionsmenge. Also ein Erzeugendensystem des Bildraums.

Zum bestimmen der Basis müssen wir also das kleinste Erzeugendensystem finden.

Dafür transponierst du die Matrix und bringst die Matrix mittels Gaußverfahren auf Zeilenstufenform. Die einzelnen Zeilen sind dann die Basis des Bildraums.

Bei der Basis der Urbildraums bin ich mir gerade etwas unsicher. Da du von einem 3-dimensionalen Raum abbildest würde ich prüfen ob du die Standardbasis abbilden kannst. Wenn ja ist der Urbildraum der ganze ℝ³.

Das ist hier möglich und du kannst ja auch jeden 3-dimensionalen Vektor mithilfe deiner Abbildung abbilden. Also wäre die Basis des Urbildraums die Standardbasis des ℝ³

Ich werde nochmals recherchieren ob es eine andere Möglichkeit gibt die Basis des Urbildraums zu bestimmen.

Grüße Christian