Hallo,

hast du dir denn schon den Wikipedia-Artikel zu dieser Methode durchgelesen?

Die Beispiele verdeutlichen das Vorgehen recht gut.

Gruß,

Gauß

PS: Der Potenzreihenansatz ist hier aber nicht unbedingt der schlauste. Es könnte u.U sogar recht kompliziert werden.

PPS:Ich habe mir mal die Mühe gemacht und das ganze durchgerechnet. Unser Problem lautet 

\(y''-12x^3y'-36x^2y=0\) wobei \(y(0)=1,\ y'(0)=0\) gilt. 

Jetzt setzen wir für \(y(x)\) eine Potenzreihe an. Also \(y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^k\). Das (und deren Ableitungen) setzen wir jetzt in unsere Differentialgleichung ein:

\(\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)a_{k}x^{k-2}-12x^3\sum_{k=1}^{\infty}ka_{k}x^{k-1}-36x^2\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^k=0\)

\(\Leftrightarrow \sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)a_{k}x^{k-2}-\sum_{k=1}^{\infty}12ka_{k}x^{k+2}-\sum_{k=0}^{\infty}36a_{k}x^{k+2}=0\)

\(\Leftrightarrow ...\)

\(\Leftrightarrow 2a_2+6a_3x+\sum_{k=0}^{\infty}\left ( (k+4)(k+3)a_{k+4}-(12ka_{k}+36a_{k})\right )x^{k+2}=0\)

Durch die Anfangsbedingungen wissen wir, dass \(a_{0}=1\) und \(a_{1}=0\).

Mittels Koeffizientenvergleich erhalten wir :

\(a_{2}=0\), \(a_{3}=0\) und die Vorschrift \(a_{k+4}=\frac{12ka_{k}+36a_{k}}{(k+4)(k+3)}\)

Wenn du ein paar ausrechnest, merkst du dass nur \(a_{n\cdot4},\ n\in \mathbb{N}_{0}\) Werte annimmt. 

Der schwierigste Teil ist es, eine geschlossene Form zu finden (manchmal gibt es nicht mal eine). 

Wenn man das ein paar mal gemacht hat, bekommt man einen Blick dafür, worauf man achten muss. Da wir zudem ja das Ergebnis kennen, finden wir ganz leicht die Folge \(a_{n}=\frac{3^n}{n!}\).

Unsere Funktion lautet somit \(y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{n!}x^{4n}=e^{3x^4}\). Die Probe bestätigt unser Ergebnis.