Hallo,
da hast du eine schöne Aufgabe bekommen. Dann fangen wir mal an:
Die Behauptung lautet :
\(\left | \bigcup_{i=1}^{n}A_i \right |=\sum_{S\subseteq \left \{ 1,...,n \right \};S \neq \emptyset}^{ }\left ( -1 \right )^{\left | S \right |-1}\left | \bigcap_{j\in S}^{ }A_j \right |\)
Der Induktionsanfang ist trivial. Kommen wir am besten gleich zu dem Induktionsschritt (mit der Voraussetzung, dass die obige Formel für \(n-1\) gilt):
\(\underline{n-1\rightarrow n:}\)
\(\left | \bigcup_{i=1}^{n}A_i \right |=\left | \left ( A_1\cup ...\cup A_{n-1} \right )\cup A_n \right |\)
\(=\left | A_1\cup...\cup A_{n-1} \right |+\left | A_n \right |-\left | \left ( A_1\cup...\cup A_{n-1} \right )\cap A_n \right |\)
\(=\left | A_1\cup...\cup A_{n-1} \right |+\left | A_n \right |-\left |\left ( A_1\cap A_n \right )\cup...\cup\left ( A_{n-1}\cap A_n \right ) \right |\)
\(=\sum_{S\subseteq \left \{ 1,...,n-1 \right \};S \neq \emptyset}^{ }\left ( -1 \right )^{\left | S \right |-1}\left | \bigcap_{j\in S}^{ }A_j \right |+\left | A_n \right |-\sum_{S\subseteq \left \{ 1,...,n-1 \right \};S \neq \emptyset}^{ }\left ( -1 \right )^{\left | S \right |-1}\left | \bigcap_{j\in S}^{ }A_j\cap A_n \right |\)
\(=\sum_{S\subseteq \left \{ 1,...,n-1 \right \};S \neq \emptyset}^{ }\left ( -1 \right )^{\left | S \right |-1}\left | \bigcap_{j\in S}^{ }A_j \right |+\left | A_n \right |-\sum_{S\subseteq \left \{ 1,...,n-1 \right \};S \neq \emptyset}^{ }\left ( -1 \right )^{\left | S \right |-1}\left |\left ( \bigcap_{j\in S}^{ }A_j \right )\cap A_n \right |\)
\(=\sum_{S\subseteq \left \{ 1,...,n-1 \right \};S \neq \emptyset}^{ }\left ( -1 \right )^{\left | S \right |-1}\left | \bigcap_{j\in S}^{ }A_j \right |+\left | A_n \right |-\sum_{S\subseteq \left \{ 1,...,n-1 \right \};S \neq \emptyset}^{ }\left ( -1 \right )^{\left | S \right |-1}\left |\bigcap_{j\in \left ( S\cup \left \{ n \right \} \right )}^{ }A_j \right |\)
\(=\sum_{S\subseteq \left \{ 1,...,n-1 \right \};S \neq \emptyset}^{ }\left ( -1 \right )^{\left | S \right |-1}\left | \bigcap_{j\in S}^{ }A_j \right |+
\sum_{S\subseteq \left \{ 1,...,n-1 \right \}}^{ }\left ( -1 \right )^{\left | S \right |}\left |\bigcap_{j\in \left ( S\cup \left \{ n \right \} \right )}^{ }A_j \right |\)
\(=\sum_{S\subseteq \left \{ 1,...,n-1 \right \};S \neq \emptyset}^{ }\left ( -1 \right )^{\left | S \right |-1}\left | \bigcap_{j\in S}^{ }A_j \right |+
\sum_{S\subseteq \left \{ 1,...,n \right \};n\in S}^{ }\left ( -1 \right )^{\left | S \right |-1}\left |\bigcap_{j\in S}^{ }A_j \right |\)
\(=\sum_{S\subseteq \left \{ 1,...,n \right \};S\neq \emptyset}^{ }\left ( -1 \right )^{\left | S \right |-1}\left |\bigcap_{j\in S}^{ }A_j \right |\)
\(QED\)
Ich hoffe, ich habe mich jetzt nicht vertippt.
Gruß,
Gauß
Lehrer/Professor, Punkte: 1.99K
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Grüße Christian ─ christian_strack 14.10.2018 um 11:42