DGL und Potenzreihenansatz

Aufrufe: 1232     Aktiv: 20.10.2018 um 00:57
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Hallo liebe Community.

Wie im Titel schon erwähnt, habe ich ein kleines Problemchen mit dem Potenzreihenansatz bei DGLs.

Das prinzipielle Vorgehen zur Erstellung der Rekursionsformel ist bekannt, ich kann die Koeffizienten der Reihen ausrechnen.

Aber was nützen mir die Koeffizienten der Reihe zur Lösung meines Problems.

 

Ein Bsp an dem ich gerade hänge:

(1+x^2)y''+2y=0 

 

Ich soll die DGL mit einem Potenreihenansatz lösen.

 

LG

David

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Hallo, ich habe schon mal eine Frage zu dieser Methode beantwortet. Schau mal hier. Allerdings bezweifle ich, dass ihr diese Aufgabe \(\left ( 1+x^2 \right )y''+2y=0\) bekommen habt, da die Lösung die Hypergeometrische Funktion beinhaltet.   Gruß, Gauß
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Hallo Gauß

Danke für deine Hilfe.

Ich glaube ich habe es kapiert. Man braucht einen Wert für a_0 und a_1 dann lässt sich die Lösung bestimmen, indem einfach in die Potenzreihe eingesetzt wird. Auf a_0 und a_1 kommt man durch eine Startbedingung ansonsten ist bei der Rekursionsformel Schluss. Ich hoffe ich habe es richtig verstanden.

LG
David


   ─   zyklonikas 20.10.2018 um 13:58
"Danke für deine Hilfe" - Gerne doch.

Man kann natürlich auch ohne Anfangsbedingungen diesen Ansatz versuchen, nur wird man i.A. nicht sonderlich weiter kommen als zur Rekursionsgleichung.

Da man meistens eine bestimmte Lösung sucht, sind Anfangsbedingungen gegeben. In dem Beispiel waren dadurch \(a_0\) und \(a_1\) bekannt.

Durch die ermittelte Rekursionsgleichung konnten wir alle anderen Koeffizienten bestimmen und sogar eine geschlossene Form finden, was nicht immer möglich ist.

Hast also eigentlich alles richtig verstanden.

 

Gruß,

Gauß

PS: Man kann das auch noch vertiefen, indem man sich fragt wann dieses Verfahren überhaupt zielführend ist. Dazu studiert man https://en.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_function">Holomorphie. Das würde jetzt aber zu weit führen.   ─   carl-friedrich-gauss 20.10.2018 um 14:39

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Vielleicht sollte ich auch fix die Frage formulieren ;): Wie komme ich von den aus der Rekursionsformel berechneten Koeffizienten zur Lösung der DGL?
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