Hallo,

dass so ein Element überhaupt  existieren kann, ist bei kommutativen Monoiden einfacher zu belegen als bei nicht kommutativen Monoiden.

(bspw. \(\left ( \mathbb{Z},\cdot \right )\), da erfüllt \(0\in \mathbb{Z}\) diese Eigenschaft.) Ein nicht kommutatives Beispiel wäre allerdings \(\left ( \mathbb{R}^{n\times n},\cdot,I_{n} \right )\). (Die Null-Matrix erfüllt hier die obige Eigenschaft.)

Wir wissen nun also, dass so ein Element existieren kann. Es bleibt also noch zu zeigen, dass wenn ein solches Element existiert, es das einzige ist.

Nehme dazu an, dass es zwei Elemente \(n,n'\in S\) gibt, die die obige Eigenschaft erfüllen und zeige, dass dann \(n=n'\) gelten muss.

Wenn du jetzt noch ein Monoid findest, der so ein Element nicht besitzt, dann wäre belegt, dass es höchstens ein Element mit dieser Eigenschaft geben kann.

Gruß,

Gauß

*Edit*:

"Wie zeige ich, dass n=n’ sein muss?"

Indem du nutzt, dass für \(n\in S\)

\(n*a=n=a*n \ \forall a\in S\)  gilt. (Bzw. für \(n'\))

"Bezüglich des nicht-kommutativen Beispiels muss ich leider passen – Matrizen hatten ich (zumindest in Universitätsmathematik) noch nicht. Gibt es ein weiteres Beispiel?"

Gibt es bestimmt, nur fällt mir jetzt auf Anhieb keines ein. Man könnte sich eventuell auch eins konstruieren. Einfacher wäre es aber, \(\left ( \mathbb{Z},\cdot \right )\) anzuführen, da ein kommutativer Monoid ja auch ein Monoid ist. 

*Edit2*: "Sage ich dann einfach, dass n’=n ist, “weil man es sieht”?"

Schön wäre es, wenn man so argumentieren könnte :)

Ich habe dir mit "

Indem du nutzt, dass für \(n\in S\)

\(n*a=n=a*n \ \forall a\in S\)  gilt. (Bzw. für \(n'\))" eigentlich schon den Tipp gegeben. 

Du fängst also an mit 

\(n=n*a\) und das gilt für alle \(a\in S\), also insbesondere auch für \(n'\), da ja \(n'\in S\). 

Du hast dann also \(n=n*a=n*n'\). Das gleiche Argument geht auch analog für \(n'\) und dann steht auch schon \(n=n'\) da und wir sind fertig.