Hallo,

Dann fangen wir mal an:

Es gilt \(A+B=\left ( A\cup B \right )\setminus\left ( A\cap B \right )=\left ( A\cap B^C \right )\cup \left ( B\cap A^C \right )\).

Und \(\left ( A+B \right )^C=\left ( \left ( A\cup B \right )\cap \left ( A^C\cup B^C \right ) \right )^C=\left ( A^C\cap B^C \right )\cup \left ( A\cap B \right )\).

Somit ist:

\(\left ( A+B \right )+C=\left ( \left ( A+B \right )\cap C^C \right )\cup \left ( \left ( A+B \right )^C\cap C \right )\)

\(=\left ( \left ( \left ( A\cap B^C \right )\cup\left ( A^C\cap B \right ) \right )\cap C^C \right )\cup \left ( \left ( \left ( A^C\cap B^C \right )\cup\left ( A\cap B \right ) \right )\cap C \right )\)

\(=\left ( \left ( A\cap B^C\cap C^C \right )\cup\left ( A^C\cap B\cap C^C \right ) \right )\cup\left ( \left ( A^C\cap B^C\cap C \right )\cup\left ( A\cap B\cap C \right ) \right )\)

Für \(A+\left ( B+C \right )\) erhalten wir völlig analog:
\(A+\left ( B+C \right )=\left ( \left ( A\cap B^C\cap C^C \right )\cup \left ( A\cap B\cap C \right ) \right )
\cup\left ( \left ( A^C\cap B\cap C^C \right )\cup\left ( A^C\cap B^C\cap C \right ) \right )\).

Es werden also jeweils die gleichen 4 Terme vereint, wodurch wir die Gleichheit sehen.

 

Ich hoffe, ich habe mich jetzt nicht vertippt.

 

Gruß,

Gauß

 

PS: Die Verknüpfung \(+\) hier wird auch Symmetrische Differenz genannt.

Was ist dieses komische ^C? Das haben wir noch nie in der Vorlesung gehabt, da bin ich mir zu 100% sicher. Die Gleichheit sehe ich. Nur die Umformung ist wegen des C für mich etwas schlecht nachzuvollziehen. Gibt es eine Möglichkeit ohne "C" umzuformen? Weil sonst wüsste ich nicht, wieso wir diese Aufgabe gestellt bekommen...