Hallo,
ich würde wohl über die Polarform gehen.
So ist nämlich \(z=e^{\frac{i\pi}{3}}\) (beachte, dass diese Darstellung nicht eindeutig ist, da \(e^{i2\pi}=1\))
Somit ist \(z^n=e^{\frac{in\pi}{3}}=cos(\frac{\pi}{3}n)+isin(\frac{\pi}{3}n)\)
Also \(1=cos(\frac{\pi}{3}n)+isin(\frac{\pi}{3}n)\).
Jetzt musst du nur noch klären, für welche \(n\) der \(cos=1\) und gleichzeitig der \(sin=0\) ist.
Alles klar?
Gruß,
Gauß
PS: Strenggenommen müsstest du natürlich die Uneindeutigkeit mit berücksichtigen.
In dem Falle musst du gucken, wann \(cos\left ( \left ( \frac{\pi}{3}+2\pi\cdot k \right )n \right )=1\) gilt.
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Demzufolge ist dein Radius \(r=\sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^2+\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2}=1\). Deinen Winkel erhälst du aus trigonometrischen Überlegungen, Vgl. :[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Komplexe_konjugation.svg/256px-Komplexe_konjugation.svg.png[/img]
Also ist hier \(\phi=arccos\left ( \frac{\frac{1}{2}}{r} \right )=arccos\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{\pi}{3}\).
Wir erhalten insgesamt also \(z=e^{i\frac{\pi}{3}}\). ─ carl-friedrich-gauss 22.11.2018 um 16:22
Vielen Dank. Im Groben hab ich jetzt verstanden wie ich da ran zu gehen habe. Mir ist nur direkt beim ersten Schritt nicht klar, wie du auf \( \frac {\pi} {3} \) im Exponenten kommst. Wenn du mir das nochmal kurz erklären könntest bin ich dir sehr dankbar. Vielen Dank, Ultor
─ ultor 22.11.2018 um 15:40