Hallo nochmal :)

es hängt davon ab, wie du die komplexen Zahlen definiert hast.

I.d.R werden diese durch \(\mathbb{C}:=\mathbb{R}\times \mathbb{R}=\left \{ \left ( a,b \right )\middle|a\in\mathbb{R},\ b\in\mathbb{R} \right \}\) mit

\(\left ( a,b \right )+\left ( a',b' \right )=\left ( a+a',b+b' \right )\) und \(\left ( a,b \right )\cdot\left ( a',b' \right )=\left ( aa'-bb',ab'+a'b \right )\) definiert.

Dann müsstest du auch diese Tupel zum Nachweis benutzen.

Die Schreibweise \(z=a+ib\) kommt daher, dass \(\left ( a,0 \right )\) die selben arithmetischen Eigenschaften hat, wie die reelle Zahl \(a\).

Somit definieren wir \(i:=\left ( 0,1 \right )\) und erhalten die bekannte form, da:

\(i^2=\left ( 0,1 \right )\left ( 0,1 \right )=\left ( -1,0 \right )=-1\) und

\(a+bi=\left ( a,0 \right )+\left ( b,0 \right )\left ( 0,1 \right )=\left ( a,0 \right )+\left ( 0,b \right )=\left ( a,b \right )\)

Gruß,

Gauß