Rang Matrix

Aufrufe: 1097     Aktiv: 26.11.2018 um 18:18
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Es sei A ∈ Matm×n(R). Aus der Vorlesung ist bekannt, dass der Rang einer (m × n)-Matrix maximal so groß sein kann, wie min{m, n}; d. h. 0 ≤ rang(A) ≤ min{m, n}. Welche Aussage können Sie über den Rang von A treffen, . . . (i) ...falls m ≤ n? (ii) . . . falls m ≤ n und die Matrix k Nullzeilen enthält? (iii) . . . falls m > n und die Matrix k Nullzeilen enthält? Fassen Sie Ihre Aussagen so präzise wie möglich. Hat hier jemand einen Rat?
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Hallo, du hast doch alles schon selbst gegeben. i) Wenn \( rang(A) \leq min\{m,n\} \) und \( m \leq n \). Was ist dann das Minimum von m und n? ii) Wir haben die selbe Grundlage wie bei i) nur das wir noch k Nullzeilen haben. Was steht für die Zeilen? m oder n? Grüße Christian
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Also ich steig da nicht so durch. bei i müsste der Rang 1 sein, n dann 3 und m 2? Aber es ist bestimmt nicht nach konkreten Zahlen gefragt oder? Könnten ja auch Bruchzahlen etc sein.. m sind die Zeilen und n die Spalten, richtig?  
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Also ich versteh nicht ganz worauf man da hinaus soll. der Rang darf maximal so groß sein wie das min m,n. Ob jetzt m größer ist oder n ist doch egal oder?
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Ja schon aber es ist ja explizit angegeben das m das Minimum ist, also gilt \( Rang(A) \leq m \) Wie ich die Aufgabe verstehe ist nicht nach mehr verlangt. Bei dem zweiten kannst du sogar noch etwas mehr zum Rang aussagen.
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Meine Antwort ist weg.. also i) verstehe ich jetzt. Danke! ii) gilt erstmal dasselbe wie bei i). M sind ja die Zeilen, wenn also m Nullzeilen hat , aber nicht alles Nullzeilen sind gil r= m oder? Und ansonsten r=m-1? bei iii) gilt dann r kleiner gleich n, aber was ist mit den Nullzeilen?
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Zu der zwei musst du noch eins bedenken.

Wir haben \( m \) Zeilen. Davon sind sagen wir \(k \) Zeilen Nullzeilen. Dann haben wir \( m-k \) Zeilen die keine Nullzeilen sind.

Das bedeutet aber nicht das diese \( m-k \) Zeilen linear unabhängig sind. Es heißt lediglich das nur wenn alle linear unabhängig sind

\( Rang(A) = m-k \)

Also ergibt das insgesamt?

Die iii) würde ich dann denke ich wieder über das Minimum beschreiben. Oder zwei Fälle auflisten. Welche wären das?

 

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Also so ganz verstehe ich das nicht. Sorry! Bei ii fehlt der Fall wenn sie linear abhängig sind? und bei iii gibt es doch auch die zwei fälle, dass entweder alles Nullzeilen sind oder eben mindestens eine Zahl von 0 verschieden?
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Du hast m Zeilen, davon sind k Nullzeilen, also \( Rang(A) \leq m-k \) Bei der iii) hast du mehr Zeilen als Spalten. Nun hast du noch k Nullzeilen. Jetzt hast du die 2 Fälle \( m-k < n \) und \( m-k > n \) Deshalb kannst du insgesamt auch sagen \( Rang(A) \leq min\{m-k, n \} \)  
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