So, ich löse mal a, ich denke, dann sollte b auch kein Problem mehr darstellen.

a)

\(U(x,y)=x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}\) unter der Nebenbedingung \(2x+y=3\) maximieren.

1. Lagrange Funktion aufstellen:\( L(x,y,\lambda )=x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}+\lambda(2x+y-3)\)

2. Nach allen drei Variablen ableiten und nullsetzen: \(\bigtriangledown \lambda=0\)

I: \(L_x=\dfrac{y^\frac{2}{3}}{3x^\frac{2}{3}}+2\lambda =0\)

II: \(L_y=\dfrac{2\sqrt[3]{x}}{3\sqrt[3]{y}}+\lambda=0\)

III: \(L_\lambda=y+2x-3=0\)

3. Lambda eliminieren (Additionsverfahren) (I - 2*II):

IV: \(\dfrac{4 x - y}{\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}} = 0\)

4. Gleichungssystem lösen:

III: \(2x+y-3=0\)

IV: \(\frac{4 x - y}{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y}} = 0\)

\(\Rightarrow x=0.5,y=2\)

\(U(0.5,2)=\sqrt[3]{2}\)