Konvergenz einer Reihe

Aufrufe: 947     Aktiv: 08.12.2018 um 22:26
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Hey.   Diese Reihe bereitet mir etwas Probleme: \(sum_{k=1}^{\infty}\sqrt[4]{1+\frac{1}{k}}-1\)   Ich würde gerne die Divergenz dieser Reihe zeigen, ohne das Grenzwertkriterium nutzen zu müssen.  Aus dem Quotienten- und dem Wurzelkriterium erhalte ich nur a=1.   Damit also keine zuordnungsfähige Aussage.   Mir fällt auch spontan keine passende Minorante auf, die ich hier anwenden könnte... Wäre sehr erfreut über einen kleinen Tipp :)
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Hallo,

es gilt:

\(\sum_{k=1}^{\infty}2^{k-1}\left ( \sqrt[4]{1+\frac{1}{2^{k-1}}}-1 \right )\leq 2\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt[4]{1+\frac{1}{k}}-1\).

 

Gruß,

Gauß

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Hallo, "Es ist mir zwar schlüssig wie du darauf gekommen bist, aber nicht inwiefern es mir helfen sollte. Wenn es möglich wäre würde ich mich freuen, wenn du deine weitere Vorgehensweise erläutern könntest."- Gerne doch. Da \(\lim_{n \to \infty}\underbrace{2^{n-1}\left ( \sqrt[4]{1+\frac{1}{2^{n-1}}} -1\right )}_{=:a_n}=\frac{1}{4}\neq 0\) (also \(a_n\) ist keine Nullfolge), kann die Reihe \(\sum a_n\) nicht konvergieren. Damit divergiert dann auch unsere Ausgangsreihe.   Gruß, Gauß
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