Hallo,

mittlere/durchschnittliche Änderungsrate beschreibt die Steigungsänderung der Funktion in einem Intervall [a,b]. Für die Berechnung gilt folgende Formel:

\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}= \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\). Dann erhältst du solch ein Steigungsdreieck.

Wenn du nun aber die Steigung in einem Punkt (nennen wir ihn \(x_0\)) berechnen möchtest, lässt du den Abstand der zwei Punkte a und b so nah zueinander laufen, dass b quasi "in" a "liegt". Deshalb dieses \(\lim\limits_{h \to 0}\).

Die Formel für die h-Methode sieht wie folgt aus:

Steigung im Punkt \(x_0=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\). Das entspricht der ersten Ableitung der Funktion, die dir auch die Steigung an der Stelle \(x_0\) angibt. (Wenn ihr das noch nicht hattet, ignorieren!)

Wenn jetzt bspw. deine Funktion lautet \(f(x)=x^2\) dann setzt du diese zuerst in die Fomel ein:

\(\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(x_0+h)^2-x_{0}^{2}}{h}\). Dann einfach die 1. binomische Formel benutzen und den Term ausmultiplizieren:

\(\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{x_{0}^{2}+2x_0h+2h^2-x_{0}^{2}}{h}\) Die beiden \(x_{0}^{2}\) löschen sich gegenseitig aus:

\(\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2x_0h+2h^2}{h}\) Jetzt noch kürzen:

\(\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{h(2x_0+h)}{h}\) Wenn du h jetzt gegen null "laufen lässt" zeigt sich:

\(\lim\limits_{h \to 0}  h(2x_0+0) = 2x_0\)

Also ist die Steigung der Funktion f im Punkt \(x_0\) gleich \(2x_0\)

Sprich du willst die Steigung für \(x=4\) wissen: \(2\cdot 4=8\)