Hallo,

die Wurzelfunktion ist (streng) monoton wachsend, d.h für \(x<y\) ist \(\sqrt{x}<\sqrt{y}\).

Da \(n^4+2>n^4\) ist \(\sqrt{n^4+2}>\sqrt{n^4}=n^2\).

Da wir das ganze im Nenner abgeschätzt haben, ist dann

\(\frac{n^2+20}{\sqrt{n^4+2}}\leq \frac{n^2+20}{\sqrt{n^4}}=\frac{n^2+20}{n^2}\).

Eine Folge \(\left ( a_n \right )_{n\in\mathbb{N}}\) heißt beschränkt, wenn \(\exists M\in\mathbb{R} \ \forall n\in \mathbb{N}:\left | a_n \right |<M\).

Also wenn du eine Zahl findest, sodass alle Folgenglieder im Betrag kleiner sind als diese Zahl.

Durch die ganzen Abschätzungen hast du gezeigt, dass \(\left | s_n \right |\leq 23\ \forall n\in\mathbb{N}\) gilt.

Also genau die Definition von Beschränktheit.

Alles soweit verstanden?

Gruß,

Gauß