Hallo,

bleiben wir erstmal bei der Injektivität.

in dieser Aufgabe geht es ja speziell nur um f(x)=x². Für Injektivität kommt es ganz entscheidend auf dem Definitionsbereich an. Finde ich nämlich Elemente im Definitionsbereich, die ungleich sind, aber das gleiche Bild haben, ist die Funktion nicht injektiv. Wegen der Definition des Quadrats gilt f(-x)=f(x), d.h. die Funktion wird nie injektiv sein, wenn der Definitionsbereich positive UND negative Werte enthält. Das gilt natürlich für alle Achsensymmetrische Funktionen.

Ganz allgemein kannst du das mit der Definition der Injektivität zeigen: man setze f(x)=f(y) und zeigt das daraus nur x=y folgt (Injektivität wiederlegen wäre mit einem Gegenbeispiel am sinnvollsten). Dann sieht man auch warum sich der Definitionsbereich so "seltsam" einschränkt.

Jetzt zur Surjektivität:

Ganz Allgemein ist die Überlegung wieder zu zeigen das die Gleichung f(x)=y zu jedem y eine Lösung x hat. Das läuft konkret meistens darauf hinaus die Gleichung umzustellen. Macht man, das erhält man zu y beliebig \( x=\sqrt{y}\) bzw. \( x=-\sqrt{y}\). Hier müsste man jetzt diskutieren ob es y gibt, sodass es kein Urbild (also x) gibt.

a) kann nicht injektiv sein, da bspw. x=-2 in der Funktion +4 ergibt, genau so wie x=2 .. also werden alle Werte (außer 0) doppelt angenommen, deshalb gibt es für x -> x^2 in R auch keine Umkehrfunktion.
Also für die Injektivität folgt aus \( f(x_1)=f(x_2)\) stets \(x_1=x_2\).
Nicht surjektiv, da die negativen Werte nicht angenommen werden.

b) Injektiv, da (wenn ich das richtig entziffern kann), die Definitionsmenge auf \(\mathbb{R}^+\) beschränkt ist, weswegen jedes y höchstens einmal als Bild auftritt (bei \(X \rightarrow Y,\; y\in Y\))

c) surjektiv, weil jedes Element \(y \in Y\) mind. einmal getroffen wird.  Anderes Beispiel wäre \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\: x \mapsto 2x+1 \)

d) ? Wenn f injektiv und surjektiv ist, es auch bijektiv.

e) bijektiv, da beides gilt.

Also es gilt:

\(q_1: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_0^+,x \mapsto x^2 \) surjektiv
\(q_2:\mathbb{R}_0^+ \rightarrow  \mathbb{R},x \mapsto x^2 \) injektiv
\(q_3:\mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R}_0^+,x \mapsto x^2 \) bijektiv