Also du willst \(\cos^2 (A) = \dfrac{1}{2} \cdot (1 + \cos(2A))\) umwandeln?
Ist A eine Variable / Parameter?
Für Mathjax [code]
\( ... \)
[/code] setzen (ohne den code allerdings!)
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Also du willst \(\cos^2 (A) = \dfrac{1}{2} \cdot (1 + \cos(2A))\) umwandeln?
Ist A eine Variable / Parameter?
Für Mathjax [code]
\( ... \)
[/code] setzen (ohne den code allerdings!)
A ist eine Variable, ja! danke für die schnelle Antwort und Ich werde mich bemühe mathjax jetzt besser zu verwenden.
PS: da in dem Dokument von Daniel Jung erwähnt wird, dass beim cos zb auch ein \ hingehört war ich verwirrt aber ich denke jetzt hab ich es kapiert danke :)
Man kann es auch weglassen, aber dann sieht es so aus \(cos(2x)\) und nicht so \(\cos(2x)\)
─ maccheroni_konstante 06.01.2019 um 20:35
Also, du weißt, dass \(\cos^2(x)=\dfrac{1}{2}\, \left ( 1+\cos(2x)\right )\) gilt.
Da für \(\cos^4\) \(\dfrac{1}{8}\) gilt, liegt nahe, dass es nach der Form \(\dfrac{1}{2^n}\) funktioniert.
Für den Wert in der Klammer kannst du für \(\cos^n\) sagen, dass dieser \(\sum\limits_{k=0}^{n}\displaystyle\binom{n}{k}\cos((n-2k)x))\) mit \(n \in \mathbb{N}\) entspricht.
Wenn du es direkt daraus ableiten sollst, müsste man erstmal zeigen, dass cos^2 A überhaupt der rechten Seite entspricht.
\(1\cos^2(x)=1\cos^2(x)
\\1\cos^2(x)=0.5(2\cos^2(x)
\\1\cos^2(x)=0.5(2\cos^2(x)-1+1)
\\1\cos^2(x)=0.5(1\cdot 2\cos^2(x)-1+1)
\\1\cos^2(x)=0.5(1\cos(2x)+1)\)
Für cos^4 gilt nun mit \(x:=A\)
\(8\cos^4(x)=3+4\cos(2x)+\cos(4x) \) Multiplikation mit 8
\(8 \dfrac{(\cos(2x)+1)^2}{4}=3+4\cos(2x)+\cos(4x) \) wir sagen \(\cos^4(x)=\dfrac{1}{4}(\cos(2x)+1)^2)\)
\(\dfrac{8(1+2\cos(2x)+\cos^2(2x))}{4}=3+4\cos(2x)+\cos(4x) \) wobei \((\cos(2x)+1)^2)=1+2\cos(2x)+\cos^2(2x)\) ist
\( \dfrac{8(1+2\cos(2x)+\frac{\cos(4x)+1}{2})}{4}=3+4\cos(2x)+\cos(4x)\) es gilt \(\cos^2(2x)=\dfrac{1}{2}\cos(4x)+\dfrac{1}{2}\)
\( \dfrac{8(1+2\cos(2x)+\frac{1}{2}+\frac{\cos(4x)}{2})}{4}=3+4\cos(2x)+\cos(4x) \) denn \(\dfrac{\cos(4x)+1}{2}=\dfrac{1}{2}\cos(4x)+\dfrac{1}{2}\) die 1+ \(\frac{1}{2}\) aus dem letzten Nenner können wir zu \(\frac{3}{2}\) zusammenfassen
\( \dfrac{8\left (\dfrac{3}{2}+2\cos(2x)+\frac{1}{2}\cos(4x)\right)}{4}=3+4\cos(2x)+\cos(4x)\) aufteilen der Brüche und Multip. mit 4 zu \(\dfrac{3}{8}+\dfrac{\cos(2x)}{2}+\dfrac{\cos(4x)}{8}\)
\(8\left (\dfrac{3}{8}+\dfrac{\cos(2x)}{2}+\dfrac{\cos(4x)}{8}\right)=3+4\cos(2x)+\cos(4x)\) Multipl. mit 8 bringt
\(3+4\cos(2x)+\cos(4x)=3+4\cos(2x)+\cos(4x)\)
Ganz hab ich es noch nicht verstanden aber ich werde solange dran studieren bis ichs verstehe! :D Aber scheint sehr detailliert erklärt zu sein also danke dafür!
Eine frage hätte ich noch bezüglich der vorgehensweise in diesen beiden Zeilen:
\( 1cos^2(x)=0.5(1⋅2cos^2(x)−1+1)
1cos^2(x)=0.5(1cos(2x)+1) \)
Welche Regel wurde hier genau verwendet um den 2fachen cos wegzubekommen? Würde mich über eine erneute antwort sehr freuen :) danke
\(\cos^2(x)=\dfrac{1}{2}(\cos(2x)+1) \Rightarrow 2\cos^2(x)=\cos(2x)+1\)
─ maccheroni_konstante 06.01.2019 um 23:37
Ich hoffe die Formeln werden richtig abgebildet, verstehe mathjax noch nicht zu 10
Sonst hier die Schreibweise ohne code:
(cos^2) A = (1/2) * (1 + cos2A)
in
(cos^4) A = (1/8) * (3+4 cos2A + cos4A)
umformen
─ ezio0826 06.01.2019 um 19:26