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Hallo,
die Rechnung zum Kern ist schon mal richtig. Der Kern besteht dann nur aus dem Nullvektor
Wie gesagt, das Bild sind alle Vektoren auf die die Abbildung tatsächlich abbildet.
Wie du richtig erkannt hast haben wir die Abbildungsmatrix
\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \)
Nun kann man anhand dieser Matrix bereits die Basis ablesen. Die Basis sind nämlich die Spaltenvektoren, also
\( \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \} \)
Grüße Christian
Ich habe mich oben verschrieben. Es sind die Spaltenvektoren. Aber diese habe ich ja auch in die Basis geschrieben. Habe es korrigiert,
Aber zu allererst es ist die Basis des Bildes der linearen Abbildung.
Ja, aber nur die lineare unabhängigen Spalten. Das kannst du dir auch leicht veranschaulichen, indem du dir deine Abbildung einmal anguckst.
\( \varphi: (x,y) \to (x+2y, 2x-y) \)
Stellen wir das Ergebnis als Vektor da, bekommen wir
\( \begin{pmatrix} x+2y \\ 2x-y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \)
\( \Rightarrow \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \} \)
Grüße Christian