Hallo,

die Mächtigkeit von endlichen Mengen beschreibt die Anzahl der Elemente in der Menge. Dort ist die Gleichmächtigkeit selbsterklärend. Zwei endliche Mengen sind gleichmächtig, wenn sie die selbe Anzahl an Elementen haben. 

Doch nun haben wir bei unendlichen Mengen ein Problem. Dort ist es schwer zu sagen wie viele Elemente genau in dieser Menge sind. Schließlich sind es ja unendlich viele.
Deshalb haben wir zwei verschiedene Arten von Unendlichkeit. Abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich. 

Die Abzählbarkeit kommt aus den natürlichen Zahlen. Wir können die Zahlen quasi durch nummerieren. Wir können sie eben "zählen". Können wir das nicht mehr reden wir von überabzählbar. Wie bei den reellen Zahlen.

Doch wie überprüfen wir das nun für eine Menge die nicht die Menge der natürlichen oder reellen Zahlen ist. 

Nun kommen wir zu Bijektion. Eine Bijektion ist eine Funktion die bijektiv ist, also injektiv und surjektiv.
Das bedeutet das die Funktion \( f: A \to B \) jedem Element aus A ein Element aus B zuordnet und jedes Element von B angenommen wird. '
Das heißt aber gleichzeitig auch das die beiden Mengen gleichgroß sein müssen.

Finden wir eine Bijektion zu den natürlichen Zahlen, so muss die Menge Abzählbar sein. Finden wir eine zu den reellen Zahlen ist sie somit Überabzählbar.

Grüße Christian