Ich weiß nicht wie Du von (n+1)! + (n+1)² auf (n+2)! kommst. Abgesehen davon passt das glaube ich.

Abhängig von Deinen Lehrern/Professoren könntest Du Probleme hinsichtlich korrekter Benennung der Beweisabschnitte bekommen (Induktionsvoraussetzung, -behauptung, Beweis des Induktionsschrittes) - siehe z.B. https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vollst%C3%A4ndige_Induktion

Die Verwendung eiones Summenzeichens macht den Beweis übrigens übersichtlicher :)

Ich hätte das Beispiel so gelöst:

Achtung, kleiner Fehler im Bild: Im Term vom Summenzeichen sollten statt n k stehen.