Hallo,

bei der b) kannst du alternativ auch zeigen, das \( (I, \cdot ) \) eine Untergruppe von \( ( \mathbb{R} , \cdot ) \) ist, da \( I \subset \mathbb{R} \). 

Dann müsstest du nur noch die Abgeschlossenheit zeigen, über \( 2^n \cdot 2^m \). Was kommt dabei heraus?

Zur c)

Du musst zeigen \( (a \oplus b ) \oplus c = a \oplus ( b \oplus c ) \), mit \( \oplus : (u,v) \mapsto \frac {u + v } {1+ u \cdot v } \).

Setze das ganze doch einmal ein und löse die Klammer auf. Was kommt dabei heraus?

Grüße Christian

Bei b) wäre das inverse Element 0?

die Abgeschlossenheit wäre 4^n+m?

Kann ich auch bei der Assoziativität von b sagen, dass es assoziativ ist, wegen der Multiplikation auf R und R ja Teilmenge von G ist?

Das Inverse zu \( 2^n \) wäre \( 2^{-n} \), da \( 2^n \cdot 2^{-n} = 2^{n-n} = 2^0 \)

\( 2^0 \) ist unser neutrales Element, da \( 2^n \cdot 2^0 = 2^{n+0} = 2^{n} \)

Zu der Abgeschlossenheit, \( 2^n \cdot 2^m = 2^{n+m} \). Nun liegt aber \( 2^{n+m} \in G \), da \( n,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow n+m \in \mathbb{Z} \) 

Andersherum, \( G \subset \mathbb{R} \). Da dies gilt und wir die selbe Verknüpfung haben, wie \( ( \mathbb{R}, \cdot ) \) müssen wir eben nur die Untergruppenkriterien nachweisen. Sind diese gezeigt, so liegt automatisch eine Gruppe vor und wir müssen die Assoziativität nicht mehr zeigen. 
Finde ich hier persöhnlich einfacher. :)

Grüße Christian