Hallo,

du brauchst für das Polynom 2. Grades 3 Bedinungen.

1. Bedingung: "Die Funktion geht durch den Urpsprung", also durch den Punkt O(0|0)
Somit muss sowohl der x- als auch der y-Wert null sein.

Also: f(0)=0

2. Bedingung/3. Bedingung: "Tiefpunkt in P(2|-2)"
Die Funktion geht durch den Punkt P. Also f(2)=-2

Außerdem existiert dort ein Extremum, also muss die 1. Ableitung an dieser Stelle gleich null sein.
f'(2)=0

Setzt du nun diese Werte in die allgemeine Funktion ein, erhältst du

\(I: a\cdot 0^2 + b\cdot 0 +c =0 \Rightarrow c=0 \\
II: a \cdot 2^2 + b\cdot 2 +c = -2 \Leftrightarrow 4a +2b=-2 \\
III: 2a \cdot 2 + b =-2 \Leftrightarrow 4a+b=-2\)

Jetzt hast du ein LGS mit 2 Unbekannten, kannst du also lösen wie du lustig bist (Einsetzverfahren, Additionsverfahren, etc.). Genaueres, siehe hier in meiner Antwort.

Danach nur noch die Werte der Koeffizienten einsetzen.