Hallo,

Eigenvektoren müssen folgende Gleichung erfüllen.

\( (A- \lambda_i I) \cdot \vec{v} = 0 \) mit \( I \) der Einheitsmatrix.

Du erhälst also folgende Gleichung für den Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda = 1 \)

\( \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\1 & -2 &1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \vec{v} = 0 \\ \Rightarrow \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 & \vert & 0 \\1 & -2 &1 & \vert & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \vert & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 & \vert & 0 \\3 & -2 & 0 & \vert & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \vert & 0 \end{pmatrix} \)

Mindestens eine Nullzeile bekommst du immer, da jedes Vielfache eines Eigenvektors auch Eigenvektor ist. Für jeden weiteren Eigenvektor pro Eigenwert bekommst du auch eine weitere Nullzeile.

Wir wählen also \( x = t \) und erhalten dann die Gleichung \( 3t -2y = 0 \Rightarrow y = \frac 3 2 t \) und letztlich \( -2t + z = 0 \Rightarrow z = 2t \).

Unser Eigenvektor ist dann \( \begin{pmatrix} t \\ \frac 3 2 t \\ 2 \end{pmatrix} \). Nun kannst du für \( t \) einen beliebigen Wert wählen und erhälst einen Eigenvektor. 

Grüße Christian