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Hallo,
das ist nicht wichtig zur Berechnung.
Zuerst zum Kern. Im Kern befinden sich alle Elemente, die auf den Nullvektor abbilden. Du bestimmst also:
\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 5 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 2 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Die linke Seite der Gleichung kannst du allgemein bestimmen. Daraus ergeben sich dann 5 Gleichungen, aus denen du die \( x_i \) bestimmen kannst, für die der Nullvektor angenommen wird.
Für jedes frei wählbare \( x_i \) erhälst du dann einen lin. unabhängigen Basisvektor des Kerns.
Zum Bild. Im Bild finden sich alle Vektoren, die tatsächlich von der Abbildung angenommen werden. Also bestimmen wir wieder die linke Seite der obigen Gleichung. Den Lösungsvektor kannst du sofort als Linearkombination schreiben und erhälst so deine Basis des Bildes.
Grüße Christian
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Ja das hast du wohl Recht das könnte er sein. Aber in der Aufgabe geht es nur um das Verständis des Kerns und des Bildes. Wenn nichts weiter gegeben ist, dann wird von einer Teilmenge des \( \mathbb{R}^n \) ausgegangen.
Aber prinzipiell hast du schon recht, die Aufgabe ist dadurch nicht ganz eindeutig.
Grüße Christian
─ christian_strack 18.02.2019 um 00:38Ok vielen Dank :)
─ chrugi 18.02.2019 um 16:59
Hallo Christian
Vielen Dank für die Antwort.
Könnte es aber nicht auch sein dass man sich im 3x3 Matrizenraum befindet und nicht im R^5?
Dann bekäme ja man auch eine 3x3 Matrix, aber die Lösung bzw. der Lösungsraum wäre ja ein ganz anderer...oder sehe ich das falsch?
Grüsse Christian
─ chrugi 16.02.2019 um 20:14